matematykaszkolna.pl
Tryg zef: Czy mając równanie: mam równanie: sinx+cosx=2 podniosę to do kwadratu stronami sin2x+cos2x+2sinxcosx=2
 1 
sinxcosx=

, z równania głównego wiem też że sinx+cosx=2, sinx=2−cosx to podstawię.
 2 
 1 
(2−cosx)cosx=

 2 
 1 
2cosx−cos2x−

=0
 2 
niech t=cosx
 1 
2t2−t−

=0
 2 
 2 
(t−

)2=0
 2 
 2 
t=

 2 
 2 
cosx=

 2 
 π  
x1=

+2kπ lub x2=

+2kπ
 4 4 
A w odpowiedzi uwzględnione jest tylko x1 może mi ktoś wytłumaczyć dlaczego ? Zauważyłem że
 1 
wykres funkcji f(x)=2cosx−cos2x−

ma dziedzinę x∊<0;) jednak nie wiem skąd to
 2 
wynika, może mi ktoś wytłumaczyć ?
9 lis 21:07
Janek191: rysunek sin x + cos x = 2 ⇒ cos x = 2 − sin x sin2 x + cos2 x = 1 więc sin2 x + ( 2 − sin x)2 = 1 sin2 x + 2 − 22 sin x + sin2 x = 1 2 sin2 x − 22 sin x + 1 = 0 Δ = 8 − 4*2* 1 = 0
  22 2 
sin x=

=

 4 2 
 π 
x =

+ 2π*k k − dowolna liczba całkowita
 4 
9 lis 21:18
zef: no i mając
 2 
sinx=

 2 
Czemu mamy tylko 1 rozwiązanie ? Przecież na ogół to:
 π π  
x=

+2kπ i 2 rozwiązanie x=π−

+2kπ=

+2kπ czemu tego drugiego nie ma ?
 4 4 4 
9 lis 21:22
Mila: sinx+cosx=2 / :2
2 2 

*sinx+

*cosx=1
2 2 
 π π 
cos

*sinx+sin

*cosx=1⇔
 4 4 
 π 
sin(x+

)=1⇔
 4 
 π π 
x+

=

+2kπ
 4 2 
 π 
x=

+2kπ , k∊C
 4 
9 lis 21:30
zef: Dziękuje Mila, też nad tym sposobem rozwiązania myślałem, ale dalej się zastanawiam co jest nie tak w tym co ja zrobiłem. Czemu ujemne rozwiązania się nie licząemotka
9 lis 21:31
Mila: 1) Jeżeli podnosisz do kwadratu wyrażenie algebraiczne to mogą się pojawiać tzw. pierwiastki obce. Bezpiecznie jest podnosić do kwadratu wyrażenie nieujemne. Sprawdzamy:
 π 
x=

 4 
 π π 2 2 
L=sin

+cos

=

+

=2=P
 4 4 2 2 
  
x=

 4 
 2 2 
L=


=0≠P
 2 2 
Twoje nowe równanie nie jest równoważne z wyjściowym.
 2 
2) Równanie cosx=

źle rozwiązałeś
 2 
 π π π 
x1=

+2kπ lub x2 =−

+2kπ (albo x2=2π−

+2kπ)
 4 4 4 
Już to chyba Ci tłumaczyliśmy z PW ( a może komu innemu?)
9 lis 21:45
zef:
 2 
Tak, tak z tym cosx=

to już taki błąd bo na szybko pisałem i pomyślałem o sinusie. 2)
 2 
wszystko jest zrozumiałe. Ale o pierwiastkach obcych pierwszy raz słyszę, postaram się unikać podnoszenia do kwadratu, dziękuję bardzo ! emotka
9 lis 21:50
Mila: emotka
9 lis 21:56