Kresy KukizLFC: Niech A+B={z=x+y : x∊A y∊B} Wykaż, że sup(A+B)=supA + supB Ogólnie wiem o co chodzi ale zupełnie nie wiem jak to rozpisać. Mógłby mi ktoś w miarę wytlumaczyc krok po kroku?

KukizLFC: Cały czas czekam na pomoc

Nicolas Bourbaki: Zakładam, że A oraz B to podzbiory ℛ. Najpierw pokażemy, że sup(A+B)≤sup(A)+sup(B). Weźmy dowolny z∊A+B, zatem istnieje a∊A oraz b∊B takie, że z=a+b. Z definicji supremum a≤sup(A) oraz b≤sup(B), stad z≤sup(A)+sup(B). Ponieważ z∊A+B był dowolny, więc sup(A+B)≤sup(A)+sup(B). Pozostaje udowodnić, że sup(A)+sup(B)≤sup(A+B). Weźmy dowolny ε>0, z definicji supremum istnieje takie a∊A oraz b∊B, że sup(A)<a+ε/2 oraz sup(B)<b+ε/2. Zatem sup(A)+sup(B)<a+b+ε≤sup(A+B)+ε. Ponieważ ε>0 był dowolny, więc sup(A)+sup(B)≤sup(A+B).