analiza maleo: korzystając z def cauch'ego pokaż ze f(x)=x³ jest ciągła. Srednio rozumiem tą def. wyjaśni ktoś na przykładzie ?

PW: Definicja jest właściwie tożsama z definicją granicy funkcji w punkcie. Funkcja musi być określona w punkcjie x₀ i jej granica przy x→x₀ musi istnieć być równa f(x₀). Jeżeli rozumiesz definicję granicy, to nie ma tu nic innego.

jc: Weźmy dowolne y oraz ε > 0. Załóżmy, że |x−y| ≤ 1. Wtedy |x| ≤ |y| + 1= M |x³−y²| = |x−y| |x²+xy+y²| ≤ |x−y| (1+M+M²) Dla x spełniających nierówność |x−y| < δ = min(1, ε/(1+M+M²) ) mamy |x³−y³| < ε.