. Janek: Rozwiąż równania ( liczby zespolone ) a) z⁴ +9=0 b)z³=(−1−i)⁶ c)z²=3−4i

PW: W b) proponuję skorzystać z osobistej znajomości z liczbą (−1−i): (−1−i)² = (−1)² +2(−1)(−i) + i² = 1 + 2i − 1 = 2i, skąd wynika, że mamy do czynienia z równaniem z³ = (2i)³

Janek: dzieki za pomoc z b) wszystko jasne, pomógłbyś jeszcze z a i c?

PW: c) 3 − 4i = (2−i)² (kto nie wierzy, niech liczy).

Mila: c) (3−4i)=(2−i)² lub(3−4i)=(−2+i)²

Mila: a) z⁴−9i²=0

PW: No to dla potomnych podaj, Janku, rozwiązania tych równań. Poważnie, na przyszłość zamiast odkrywać od nowa, poda się linki.

Janek: to chyba powinno być tak a) z=2i b) z= 2−i lub z= −2+i ( to po prosru trzeba zrobić w ten sposób że trzeba jakby odgadnąc w głowie jaka liczba zespolona do kwadratu daje 3−4i?) c) nie wiem nie rozumiem tego co zrobiła Mila

Janek: troche pomieszałem kolejność tych przykładów nie rozumiem a)

Mila: z⁴+9=0 wiadomo, że i²=−1 z⁴−9i²=0 teraz wzór skróconego mnożenia (z²−3i)*(z²+3i)=0 z²=3i lub z²=−3i Teraz trzeba obliczyć pierwiastki z=√3i lub z=√−3i licz tak, jak liczyliście na zajęciach, dasz radę? II sposób z=⁴√−9i i wzory de Moivre'a

piotr: c) ze wzoru skróconego mnożenia: a²+b²=3 2ab=−4i ⇒a=−2, b=i lub a=2, b=−i

PW: Oj, nie wiesz tego, że równanie trzeciego stopnia może mieć w zbiorze liczb zespolonych trzy rozwiązania? Jeżeli z³ = (2i)³, to owszem − liczba 2i jest rozwiązaniem, ale nie jedynym.

piotr: b) z = (−1−i)² lub z = (−1/2+i√3/2)(−1−i)² lub z = (−1/2−i√3/2)(−1−i)²

Janek: Wielkie dzięki Mila teraz juz rozumiem tylko nie bardzo dalej wiem jak obliczyć z=√3i lub z=√−3i

Mila: Np . tak 1) z=√3i √3i= x+iy , gdzie x,y∊R⇔ 3i=(x+iy)² ⇔ x²+2xyi−y²=3i (x²−y²)+2xyi=3i porównujesz części rzeczywiste i urojone x²−y²=0 i 2xy=3 x²=y²⇔y=x lub y=−x

	3		√3
1)y=x to 2*x2=3 ⇔x2=		⇔x=		⇔
	2		√2

	√6		√6
x=		wtedy y=
	2		2

	√3		√6		√6
lub x=−		=−		wtedy y=−
	√2		2		2

	√6		√6		√6
z1=		+i*		=		*(1+i)
	2		2		2

	√6		√6		√6
z2=−		−i*		=−		*(1+i)
	2		2		2

2) z=p{−3i) √−3i= x+iy , gdzie x,y∊R⇔ 3i=(x+iy)² ⇔ x²+2xyi−y²=−3i (x²−y²)+2xyi=−3i porównujesz części rzeczywiste i urojone x²−y²=0 i 2xy=−3 licz dalej sam

Janek: ok dzięki juz rozumiem

Mila: W (2) w trzeciej linijce 22:01 −3i=(x+iy)²