Wykaż, że ciąg ma granicę i ją oblicz. Ignacy: Cześć, prędko potrzebuję pomocy do zadania. Wykaż, że ciąg jest monotoniczny i ograniczony a następnie oblicz jego granicę. a₁=2 a_n+1=1/2(a_n+1/a_n)

Ignacy: Rozpisałem to indukcyjnie i wykonałem dowód przez odejmowanie nierówności stronami, ale wiem,że nie w każdym przypadku to działa. Podaję dowód, który przeprowadziłem, pomijam teraz sprawdzenie dla n=1 zał.ind a_k>a_k+1 teza: a_k+1>a_k+2 dowód: z zał wynika, że a_k⁻¹<a_k+1⁻¹ Następnie odjąłem założenie i jego odwrotność. Wiem jednak, że może to być błędne rozumowanie. Proszę o szybką pomoc

jc: a > 0 ⇒ (a+1/a)/2 ≥ 1, a więc ciąg jest ograniczony z dołu. Pokaż jeszcze, że jest malejący.

Ignacy: Czy to na pewno wystarczy? Ogarniczenie ciągu pokazałem w analogiczny sposób co wyżej

Ignacy: o a z jakim indeksem chodzi?

jc: a − (a+1/a)/2 = (a − 1/a)/2 ≥ 0 dla a ≥ 1, a więc ciąg jest nierosnący.

Ignacy: co jest rozumiane przez a? a_n?

jc: Sam dopisz indeksy, jak potrzebujesz

jc:

	(an − 1)2
an+1−1 =
	2an

Wniosek 1. a_n+1 ≥ 1 (oczywiście a_n ≥ 1, wystarczy zmniejszyć n o jeden).

	(an − 1)2
Wniosek 2. 0 ≤ an+1 − 1 ≤		.
	2

Widać, jak szybko zbliżamy się do 1. a₁ − 1 = 1 a₂ − 1 ≤ 1/2 a₃ − 1 ≤ 1/8 a₄ − 1 ≤ 1/128 a₅ − 1 ≤ 1/128 * 1/128 * 1/2 a_n − 1 ≤ (1/2)^{2n−1 −1}

Ignacy: Dziękuję bardzo, na pracy, którą miałem oddać napisałem inny dowód, ale i tak teraz pomogło w zrozumieniu