Nierownosci wielomianowe Belle: Rozwiąż nierówność √x⁴−x²≤4−x²

Rafal: DZIEDZINA: x⁴−x²≥0⇔x²(x²−1)≥0⇔x²(x−1)(x+1)≥0⇔x∊(−∞,−1]u{0}u[1,+∞) (szkicujemy przybliżony wykres funkcji wielomianowej) https://matematykaszkolna.pl/strona/142.html W przedziale, w którym 4−x²<0, nierówność nie ma rozwiązań (bo pierwiastek arytmetyczny jest liczbą nieujemną). Wobec tego rozwiązań będziemy szukać w przedziale, w którym 4−x²≥0. 4−x²≥0⇔(2−x)(2+x)≥0⇔x∊[−2,2] Po uwzględnieniu dziedziny: x∊[−2,−1]u{0}u[1,2]. W tym przedziale wyrażenia √x⁴−x² oraz 4−x² istnieją i są nieujemne, a zatem w tym przedziale możemy przekształcić nierówność, podnosząc ją do kwadratu. x⁴−x²≤(4−x²)² x⁴−x²≤16−8x²+x⁴ 7x²−16≤0 (√7x−4)(√7x+4)≤0

	4√7
x1=
	7

	4√7
x2=−
	7

	4√7		4√7
x∊[−		;		]
	7		7

Taka byłaby odpowiedź, gdybyśmy rozwiązywali tę nierówność w zbiorze liczb rzeczywistych. My jednak rozpatrywaliśmy ją w z zbiorze x∊[−2;−1]u{0}u[2;1]. Wobec tego ostateczną odpowiedzią

	4√7		4√7
jest przedział x∊[−		;−1]u{0}u[1;		].
	7		7