indukcja jasny: (dla każdego n=>1)(6|n³−n) ktoś coś jak to udowodnić indukcją ?

Kacper: Jak wygląda dowód indukcyjny?

5-latek: Zaraz cos sie napisze Panie profesorze

jasny: najpierw sprawdzam nierówność dla n=1, a potem z założenia indukcyjnego musze to pokazać dla n+1 tylko coś mi nie wychodzi ...

PW: Panie Profesorze jasny, a ja mam pomysła bez tej nużącej indukcji x³ − n = n(n²−1) = (n−1)n(n+1) − trzy kolejne liczby naturalne. Jedna z nich musi być podzielna przez 3, i co najmniej jedna musi być podzielna przez 2.

jasny: o co chodzi z tym profesorem xddd ? fajny sposób z tymi 3 kolejnymi liczbamu tylko ja właśnie musze to indukcją pyknąć

PW: To profesor mówi do struchlałego grona: − Ktoś, coś?

PW: Poświęcę się. 1° Sprawdzamy dla n = 1: 6|3³ − 1 (prawda, bo 6|0). 2° Zakładamy prawdziwość twierdzenia dla n = k: 6|k³ − k, to znaczy k³ − k = 6p, gdzie p jest pewną liczba naturalną. 3° Formułujemy tezę indukcyjną: przy założeniu 2° twierdzenie jest prawdziwe dla n = k+1, to znaczy 6|(k+1)³ − (k+1) Dowód indukcyjny: (k+1)³ − (k+1) = (k + 1)[(k+1)² − 1] = (k+1)(k²+2k + 1 − 1) = = (k+1)(k² + 2k) = k³ + k•2k + k² + 2k = k³ + 3k² + 2k = = k³ − k + 3k² + 3k = 6p + 3k(k+1) Równość liczb zaznaczonych kolorem niebieskim wynika z założenia 2°, a liczba 3k(k+1) jest podzielna przez 6 jako iloczyn 3 i dwóch kolejnych liczb naturalnych. Wniosek: (k+1)³ − (k+1) jest liczbą podzielną przez 6 jako suma dwóch składników podzielnych przez 6. Formułka na koniec dowodu indukcyjnego.

jasny: o kurde dzięki !