Szeteregi liczbowe Donia: ∑ n²/ (2ⁿ+4ⁿ) mam sprawdzić warunek konieczny czyli sprawdzić czy granica jest równa 0 ale nie Bardzo wiem jak zabrać się za liczenie takiej granicy

ICSP: Kryterium Cauchego.

opiekacz_do_chleba:

	n2		2n		2
limn→∞		=limn→∞		=limn→∞		=
	2n+4n		2nln2+4nln4		2nln22+4nln24

=0

g:

	n2		n2		n2		n
an =		≤		=		= (		)2 → 0
	2n+4n		4n		(2n)2		2n

Donia: Moglibyście mi wyjaśnić skąd te logarytmy tam i dlaczego ( n\2n )² dąży do 0?

opiekacz_do_chleba: logarytmy bo to reguła Hospitala

Donia: Aha szkoda tylko że nie mieliśmy nic takiego

Jack: no szkoda. To skorzystaj z postu 20:28

	n
a to ze		→ 0 to akurat zadna niespodzianka...
	2n

2ⁿ to funkcja wykladnicza, a n to liniowa, to chyba logiczne ze liniowa rosnie znacznie wolniej od wykladniczej

opiekacz_do_chleba: no trudno, w takim razie udowodnić że ciąg jest malejący od pewnego n, oraz ograniczony

Donia: Mhm po prostu założyłam że to bd symbol nieoznaczony nieskończoność przez nieskończoność

opiekacz_do_chleba: to jest symbol nieoznaczony

g: n/2ⁿ → 0 można wykazać używając kryterium Cauchego

an+1		n+1		2n		n+1
	=		*		=		< 1 (dla n ≥ 2)
an		2*2n		n		2n

opiekacz_do_chleba: to jest d'Alamberta

Donia: Czyli chodzi o to że jeśli jak mamy funkcję liniową przez wykładnicza to zawsze bd dązyć do zera?

opiekacz_do_chleba:

	n
a ile wynosi granica z		Donia
	1   ( )n   2

Donia: Tak ja wiem że to się da kryteriami bo już to dawno zrobiłam tylko w moim zadaniu chodzi o to żeby na podstawie definicji sprawdzić warunek konieczny

opiekacz_do_chleba: granica z definicji to jest zupełnie co innego

Donia: Wydawało mi się że musze sprawdzić czy granica an jest równa 0 jeśli nie to na pewno nie jest zbieżny

opiekacz_do_chleba: g wykazał że jest równa 0

Donia: A co do Twojego pytania czy granica to nieskończoność?

opiekacz_do_chleba: tak, odnosiło się to do twojego stwierdzenia że takie granice są zawsze równe 0

Donia: Wiem teraz już zrozumiałam o co chodzi. Bo cały czas wydawało mi się że jeżeli wychodzi ∞\∞ to trzeba to jakoś rozpisać ale teraz już widzę o co chodzi. Dziękuję

Donia: A czy w tym wypadku granicą bd nieskonczoność (πⁿ+eⁿ)\(arctg n)³ⁿ?

opiekacz_do_chleba:

πn+en		πn+en		8		8e
	≤		=(		)n+(		)n→0
(arctgn)3n		(π/2)3n		π2		π3

opiekacz_do_chleba: inaczej, tamto jest źle

πn		π
	=(		)n, arctgn=x, x→π/2−
(arctgn)3n		arctg3n

	π		π		π
(		)tgx, mamy		<1 ⇔ π<x3 ⇔ 3√π<x, ponieważ 3√π<		zatem dla
	x3		x3		2

	π		π
pewnych n		<1 więc (		)tgx→0
	x3		x3

i podobnie z drugim

Donia: Pomyliłam się przy skracaniu teraz wyszło 0 tylko zrobilam przed podstawienie π/2 i później wyciągnięcie największej potęgi

opiekacz_do_chleba: napisałem "dla pewnych n" poprawnie byłoby od pewnego n