Różniczkowalność funkcji - sprawdzenie rozwiązania.
pshq: Proszę sprawdzić mój tok myślenia i prawidłowość rozwiązania poniższego zadania
zad. Sprawdź różniczkowalność funkcji:
| | ⎧ | (x−3)2(x−4) dla x∊(3,4) | |
| f(x) = | ⎩ | 0 dla x∉(3,4) |
|
Rozwiązanie:
1. Wyznaczam granicę funkcji w punkcie x
0=3 lewostronną i prawostronną wg wzoru:
| | f(x0+Δx) − f(x0) | |
limΔx−>0± |
| |
| | Δx | |
wychodzi:
lim
Δx−>0− (…) = 0
| | f(3+Δx)−f(3) | | (3+Δx−3)2(3+Δx−4)−0 | | Δx2(Δx−1) | |
limΔx−>0+ |
| = |
| = |
| = Δx(Δx−1) |
| | Δx | | Δx | | Δx | |
= 0
czyli różniczkowalna w punkcie x
0=3.
2. Wyznaczam granicę funkcji w punkcie x
0=4 lewostronną i prawostronną wg tego samego wzoru,
wychodzi:
lim
Δx−>0+ (…) = 0
| | f(4+Δx)−f(4) | | (4+Δx−3)2(4+Δx−4)−0 | | (Δx+1)2*Δx | |
limΔx−>0− |
| = |
| = |
| = [(0+1)2 |
| | Δx | | Δx | | Δx | |
= 1] = 1
czyli nieróżniczkowalna w punkcie x
0=4.
3. Wynik: funkcja f(x) jest nieróżniczkowalna.
Czy dobrze rozwiązałem?