Uzasadnij, że jeżeli liczby a, b, c są dodatnie i a+b+c=2, gelsuperb: Uzasadnij, że jeżeli liczby a, b, c są dodatnie i a+b+c=2, to ¹_a+²_b+³_c≥4¹₂

Krzysiek: łatwe

gelsuperb: moge prosić o podpowiedz?

jc: 1/a + 2/b + 3/c ≥ 1/a + 1/b + 1/c ≥ 9/2 bo (1/a + 1/b + 1/c)(a+b+c) ≥ 9 Jest to nierówność Schwarza dla wektorów (1/√a, 1/√b, 1/√c), (√a, √b, √c) Można lepiej oszacować. 1/a + 2/b + 3/c ≥ (1+√2+√3)² /2

PW:

2		a+b+c
	=		≥ 3√abc
3		3

(równość wynika z założenia, nierówność jest nierównością między średnią arytmetyczną a geomatryczną dla 3 składników). Skoro

	2
		≥ 3√abc,
	3

to dla odwrotności ma miejsce nierówność przeciwna

	1		3
(1)		≥		.
	3√abc		2

Z tej samej nierówności między średnimi

	1		2		3		1	2	3		3√6
(2)		+		+		≥ 33√				= 3		.
	a		b		c		a	b	c		3√abc

Zastosowanie w (2) nierówności (1) daje

	1		2		3		3		9
(3)		+		+		≥ 33√6		=		3√6,
	a		b		c		2		2

co kończy dowód, gdyż ³√6 > 1. Zadana nierówność jest "niedoszacowana" i można ją polepszyć, jak widać w (3).