Wykaż, że zachodzi nierownosc maly: Niech x I y będą nieujemnych liczbami rzeczywistymi, takimi że x ≥ y. Wykaż, że zachodzi nierówność x ⁴ + y⁴ ≥ 2xy³ −xy³ + x⁴ − xy³ + y⁴ ≥ 0 −x (y³ −x) − x (y³ − x) ≥ 0 −(x+x)(y³ − x)≥0 −2x (y³ − x) ≥0 Mogę tak to zrobić?

Omikron: Nie rozumiem drugiej linijki, w jaki sposób wyszło Ci coś takiego po wyciągnięciu x przed nawias?

maly: Nie zauważyłem potęg, już poprawiam: −x (y³ − x³) − x(y³ − x³) ≥ 0 (−x −x)(y³ − x³)

Omikron: Wciąż źle. −x(y³−x³)≠−xy³+y⁴

maly: Wyjdą mi 3 nawias (−2x) ujemne (y − x) ujemne (y− x)² dodatnie Więc iloczyn większy od zera Dobrze rozumuję?

Omikron: (y−x)*(y−x)²≠y³−x³

maly: x³ − y³ = (x − y)(x+y)² ?

Omikron: Nie

Omikron: x³−y³=(x−y)(x²+xy+y²)

maly: Zrobiłem od nowa Wychodzi mi tak: −x (y³ − x³)+y³ (y − x) ≥ 0

Omikron: x⁴−xy³+y⁴−xy³≥0 x(x³−y³)+y³(y−x)≥0 x(x−y)(x²+xy+y²)−y³(x−y)≥0 (x−y)(x³+x²y+xy²−y³)≥0 (x−y)[x(x²+y²)+y(x−y)(x+y)]≥0 Najpierw pierwszy nawias. x−y≥0 z założenia Teraz drugi. x≥0 z zał. x²+y²≥0 jako suma kwadratów liczb rzeczywistych. W takim razie x(x²+y²)≥0 y≥0 z zał. x−y≥0 z zał x+y≥0 bo obie liczby nieujemne Iloczyn trzech liczb nieujemnych nieujemny. W takim razie w drugim dużym nawiasie mamy sumę liczb nieujemnych, więc cały nawias jest nieujemny. I teraz ostatecznie iloczyn dwóch liczb nieujemnych jest nieujemny c.k.d.

Eta: x⁴+y⁴= (x²−y²)²+2x²y² i x≥y Jeżeli taka nierówność zachodzi to przekształcamy ją równoważnie (x²−y²)²+2x²y²−2xy³ ≥0 (x²−y²)²+ 2xy²(x−y) ≥0 suma trzech składników nieujemnych jest nieujemna zatem nierówność wyjściowa jest prawdziwa c.n.w

maly: Dzięki Omikron, dowiedziałem się że robiłem błąd w takim bardziej skomplikowanym grupowania (jak dla mnie) Dzięki

Omikron: Eta znacznie szybsze rozwiązanie pokazała

PW: Z nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną (1) x⁴ + y⁴ ≥ 2√x⁴y⁴ = 2x²y², a z założenia x ≥ y, zatem dla nieujemnych x, y x(xy²) ≥ y(xy²) (2) 2x²y² ≥ 2xy³. Zastosowanie (2) po prawej stronie (1) kończy dowód.