Wyprowadzenie zef: Mam pytanie dot. wyprowadzenia wzorów na przykładowo sin(x*α) wiemy że sin2α=2sinαcosα a sin(3α)=sin(2α+α)=...(dalej z redukcyjnych na sinus sumy) Czy jest jakiś sposób na wyprowadzenie wzoru np. na sin(9α) Trzeba to robić po kolei czy są skróty ? Może powstanie jakiś ciąg geometryczny ?

Eta: http://forum.zadania.info/viewtopic.php?t=41508

zef: Dziękuję, a bez używania zespolonych jest możliwość wyprowadzenia tych wzorów ?

Mariusz: Można skorzystać z zespolonych Masz równość e^ix=cos(x)+isin(x) Liczysz potęgę e^inx=(cos(x)+isin(x))ⁿ z wykorzystaniem wzoru de Moivre oraz z dwumianu Newtona Poza tym są jeszcze wielomiany Czebyszowa

piotr: http://www.tomaszgrebski.pl/viewpage.php?page_id=539

zef: Dziękuję, jak znajdę czas poczytam jak się to robi

Mariusz: Jak masz ciąg a_n to funkcja A(x)=∑_n=0^∞a_nxⁿ jest funkcją tworzącą tego ciągu Jak masz ciąg zadany rekurencyjne a₀=p a₁=q a_n=W₁(n)a_n−1+W₂(n)a_n−2+...+W_k(n)a_n−k to funkcji tworzącej możesz użyć do znalezienia wzoru jawnego przy czym jeżeli współczynniki tej rekurencji nie są stałe to możesz dostać liniowe równanie różniczkowe do rozwiązania Weźmy np taki ciąg a₀=0 a₁=1 a_n=a_n−1+a_n−2 ∑_k=2ⁿa_nxⁿ=∑_k=2ⁿa_n−1xⁿ+∑_k=2ⁿa_n−2xⁿ ∑_k=2ⁿa_nxⁿ=x∑_k=2ⁿa_n−1xⁿ⁻¹+x²∑_k=2ⁿa_n−2xⁿ⁻² ∑_k=2ⁿa_nxⁿ=x∑_k=1ⁿa_nxⁿ+x²∑_k=0ⁿa_nxⁿ ∑_k=0ⁿa_nxⁿ−0−x=x(∑_k=0ⁿa_nxⁿ−0)+x²∑_k=0ⁿa_nxⁿ A(x)−x=x(A(x)−0)+x²A(x) A(x)−x=xA(x)+x²A(x) A(x)−xA(x)−x²A(x)=x A(x)(1−x−x²)=x

	x
A(x)=
	1−x−x2

	x
A(x)=
	(1−λ1x)(1−λ2x)

x		A		B
	=		+
(1−λ1x)(1−λ2x)		1−λ1x		1−λ2x

x		A(1−λ2x)+B(1−λ1x)
	=
(1−λ1x)(1−λ2x)		(1−λ1x)(1−λ2x)

x=A(1−λ₂x)+B(1−λ₁x x=A+B−(Aλ₂+Bλ₁)x B=−A A(λ₂−λ₁)=−1

	1
A=
	λ1−λ2

	1
B=−
	λ1−λ2

(1−λ₁x)(1−λ₂x)=1−x−x² (1−(λ₂+λ₁)x+λ₁λ₂)=1−x−x² λ₂+λ₁=1 λ₁λ₂=−1 λ²−λ−1=0

	1+√5
λ1=
	2

	1−√5
λ2=
	2

	1	1		1	1
A(x)=			−
	√5	1−λ1x		√5	1−λ2x

	1		1
A(x)=		∑k=0∞λ1nxn−		λ2nxn
	√5		√5

	1		1+√5		1		1−√5
an=		(		)n−		(		)n
	√5		2		√5		2

Dlaczego o tym wspominam ... bo wielomiany Czebyszowa są zadane rekurencyjnie