Nierówność z parametrem Nataliaaa: Wyznacz wszystkie wartości parametrów m, dla których równanie x⁴ +mx² +m +5/4 = 0 ma dokładnie 2 pierwiastki. Próbowałam sama zrobić, ale nie wychodzi mi dobry wynik. Przekształciłam na t² +mt + m +5/4=0, gdzie x²=t Dałam takie założenia: 1) Δ>0 t₁* t₂ =0 t₁ + t₂ >0 2) Δ=0 t= b/2a >0 Pomożecie?

||: ma mieć dokładnie dwa czyli jeden, podwójny kwadratowy wtedy chyba wyjdzie dobrze

Nataliaaa: Czyli to jest ten drugi warunek: Δ=0 t= b/2a >0, prawda? Ale nie wychodzi

Nataliaaa: Ok, czyli jeden podwójny, czyli Δ=0 t= b/2a >0 wyjdzie ostatecznie x²= t i powstaną 2 pierwiastki. I ja się z tym zgadzam, ale odpowiedzi nie

Jack: jaka jest odp. ? ktoras z tych pasuje : 1) m = −1 lub m = 5 ? 2) m ∊ (−∞;−1)U(5;∞) ? 3) m∊ (−∞;−1>U<5;∞) ? 4) m ∊ (−∞ ; − 1) ? 5) m = − 1 ?

Nataliaaa: 6) m∊ (−∞; −5/4) U {−1} jest poprawna

zef: x⁴+mx²+m+1,25=0 x²=t t²+mt+m+1,25=0 Mając takie równanie mamy takie opcje: 1) 1 pierwiastek ujemny, 1 pierwiastek dodatni. (Δ>0, t₁>0,t₂<0) 2) 1 pierwiastek który jest zerem i 1 pierwiastek dodatni (Δ>0, t1=0, t2>0) 3) 1 pierwiastek dodatni podwójny (Δ=0, t1>0) Więcej warunków raczej nie będzie, wiesz jak je rozwiązać ?

Nataliaaa: Ok, dobra, zaraz sprawdzę, jak mi wyjdzie. Ale ogółem: 1) Δ>0, t1* t2<0, t1 + t2 >0 2) A tuu.. też w sumie wcześniej napisałam taki warunek, ale teraz się z nim nie zgadzam. Powstanie: t₁=0, t₂>0, co nam da: t₁: x₁=0, t₂: x₂=..., x₃=... Czyli trzy pierwiastki, a nie 2. Co o tym sądzisz? 3) Δ>=0, t₁= t₂=t= −b/2a >0

zef: Taak, mój drugi warunek jest zły, powstaną 3 pierwiastki. Rozwiąż 1 i 3 warunek i powiedz czy zgadzają ci się wyniki z odpowiedziami.

Nataliaaa: Taakkk! Dziękuję bardzo, bardzo! Zgadzają się

zef:

Nataliaaa: A tak w ogóle to jeszcze nie potrzebnie napisałam w tym 1) warunek t₁ + t₂ >0 Gdyby komuś jeszcze było potrzebne to rozwiązanie

Jack: a wszystko dlatego ze nie dali slowa różne pierwiastki... ;x

Nataliaaa: Jak nie dają słowa "różne" to chyba zawsze są różne. Bierzemy pod uwagę "takie same", jeżeli napiszą, że są takie same. I sprawa rozwiązana, haha

Nataliaaa: Chwilka, jak: −dwa pierwiastki− obliczamy różne i takie same pierwiastki −dwa różne pierwiastki− obliczamy dwa różne pierwiastki −dwa takie same pierwiastki− obliczamy dwa takie same pierwiastki (podwójny jeden) Dla podsumowania

PW: Zadanie jest sformułowane niepoprawnie. Pojęcia "pierwiastek równania" już dawno się nie używa. W równaniu szukamy rozwiązań. Pojęcie "pierwiastek" ma zastosowanie do wielomianów − mówi się o pierwiastkach wielomianów, i wtedy ma sens określenie "pierwiastek podwójny". Określenia "podwójne rozwiązanie" czy "jednakowe rozwiązania" nie mają sensu. Zadanie powinno brzmieć: Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie x⁴ +mx² +m +5/4 = 0 ma dwa rozwiązania. Członkowie Sekty Nieśmiertelnej Delty, pomyślcie jak odpowiedzieć na postawione pytanie, gdy przekształcimy równanie do postaci:

	m2		m2		5
x4 + mx2 +		−		+ m +		= 0
	4		4		4

	m		m2		5
(x2 +		)2 =		− m −
	2		4		4

	m		1
(x2 +		)2 =		(m2 − 4m − 5)
	2		4

	m		1
(x2 +		)2 =		(m+1)(m−5)
	2		4

Nataliaaa: Zadanko ze zbioru maturalnego Operonu z 2015, nie takie stare, ale ok. Może już wyszło z użycia. Czyli co, To nie jest wielomian? Drogi Przywódco Sekty Nieśmiertelnej Delty, czyli z tego: 4(x² + m\2)²) wiemy, że powstaną dwa rozwiązania, ale jak obliczyć wartości m? do czego to porówać?

PW: To nie jest wielomian. To jest równanie. Wielomiany miewają pierwiastki (czasami mówią o pierwiastkach wielokrotnych, jeżeli w rozkładzie wielomianu na czynniki liniowe niektóre czynniki pojawiają się kilkakrotnie). Przykład: Wielomian W(x) = (x − 5)³(x+1)² ma dwa pierwiastki, ale o pierwiastku x₁ = − 1 powiada się, że jest pierwiastkiem dwukrotnym, zaś o pierwiastku x₂ = 5 − że jest pierwiastkiem trzykrotnym. Jeżeli natomiast piszemy: Rozwiąż równanie W(x) = 0, to jedyną poprawną odpowiedzią jest: Równanie ma dwa rozwiązania: x₁= − 1 i x₂ = 5. Można napisać: Zbiorem rozwiązań równania jest {−1, 5}. Nie bredzimy o "podwójnych (jednakowych) rozwiązaniach", czy "różnych rozwiązaniach", jak to bywało 50 lat temu. To w Operonie tego nie wiedzą? A o 19:16 zadałem pytanie, na które nie odpowiem − jest to sugestia rozwiązania innego niż ciągłe mówienie o delcie ple, ple, ple.

Nataliaaa: Czy co? Jeżeli mamy polecenie typu "wyznacz parametr m, gdy wiadomo, że równanie ma..." − .... "dokładnie 2 rozwiązania"− To bierzemy pod uwagę "dwa rozwiązania" (według zakazanych słów− dwa różne rozwiązania), np. x₁=5 x₂=3 − .... "dokładnie 1 rozwiązanie" To bierzemy pod uwagę "jedno dwukrotne rozwiązanie" = "jedno rozwiązanie"= "rozwiązanie wielokrotne" np. x₁ = x₂ = x= 4 Zgadza się? Zostań mózgiem Operonu, może wtedy zmienią i nie będą biednych dzieci wprowadzać w tak karygodne błędy <irony>

PW: Nataliaaa, ty nauczycielką jesteś?

Nataliaaa: Niee, chcę się dowiedzieć, żeby mieć pewność, skoro już tak mówisz. A o tym operonie to żarciki

Kacper: Szkoda, PW że nie wydałeś własnego podręcznika, chętnie bym z niego dzieciaki uczył, bo twoje wskazówki są zawsze bezcenne .