postać trygonometryczna, pierwiastki zespolone maciek: Liczba zespolona

8+8√3
√3 − i

a) Przedstaw liczbę w postaci trygonometrycznej b) Oblicz wszystkie pierwiastki zespolone 3 stopnia z tej liczby.

Jack: w czym problem ?

maciek: nie wiem jak to obliczyć przez ten ułamek, zazwyczaj stało coś w postaci a+bi i wszystko można było sobie podstawić do wzorków... próbowałem to ugryźć jakoś tak

8 + 8√3		√3+i
	/*
√3−i		√3+i

8√3 + 8i + 8*3 + 8√3i
3−i2

i nie wiem co dalej... potraktować te liczby bez "i" osobno i te z "i" osobno i podstawić je pod a i b do wzoru |z| = √a²+b² gdzie a to częśc rzeczywista (bez "i") b to część urojona (z "i") i wtedy wyszłoby mi, że

	8√3 + 8*3
a =
	3

b = 8 + 8√3 ?

5-latek: Nie liczylem ale wtedy a=8(√3+3) b= 8(√3+1)

5-latek: oczywiscie

	8(√3+3)
a=
	3

ICSP:

	1
= (8 + 8√3) *		= (*)
	√3 − i

1 = cos(0) + isin(0)

	√3		1		π		−π
√3 − 1i = 2(		−		i) = 2( cos(−		) + isin(		)
	2		2		6		6

	1		π		π
(*) = (8 + 8√3) *		* [ cos(0 +		) + isin(0 +		) = ...
	2		6		6

Mila:

	8+8√3 i
z=
	√3−i

I sposób:

	8+8√3 i		√3+i
z=		*
	√3−i		√3+i

	8√3+8i+8*3i+8√3i2		8√3+8i+24i−8√3
z=		=		=8i
	3−i2		4

|z=8

	π
φ=
	2

	π		π
z=z=8*[ cos		+i sin		]
	2		2

z=8*e^i*π₂ ============== 2) II sposób z₁=8+8√3i |z₁|=√64+64*3=16

	8		1
cosα=		=
	16		2

	8√3		√3
sinα=		=
	16		2

	π
α=
	3

z₂=√3−i |z₂|=2

	√3		1
cosβ=		i sinβ=−
	2		2

	π		11π
β=2π−		=
	6		6

	16		π		11π		π		11π
z=		*(cos(		−		)+i sin(		−		)⇔
	2		3		6		3		6

	3π		3π
z=8*[cos(−		)+i sin(−		)]⇔
	2		2

	3π		3π
z=8*[cos(−		+2π)+i sin(−		+2π)]⇔
	2		2

	π		π
z=8*[ cos		+i sin		]
	2		2

maciek: Chyba ten drugi sposób od Mila najbardziej pokrywa się z tym co miałem na zajęciach i wszystko zrozumiałem, ale wciąż mam problem z znalezieniem pierwiastków rozumiem, że mam użyć wzoru de Moviera, ale nie do końca wiem co za co w nim odpowiada

	φ+2kπ		φ+2kπ
zk = n√|z|(cos		+ isin		)
	n		n

rozumiem, że k to stopień jaki obliczam czyli pokolei 0,1,2

	π
φ to obliczone z postaci trygonometrycznej
	2

|z| to 16/2? A czym jest to n? To liczba pierwiastków których szukam i za każdym razem będzie wynosiła 3? np.

	π   cos +2*0*π   2		π   sin +2*0*π   2		√3		1
w0 = 3√8(		+		) = 2(		+		i} =
	3		3		2		2

= √3 + i

maciek: i tak samo dla w1 i w2 czy jak kto woli z1 i z2?

Mila: Tak, w mianowniku liczba pierwiastków ( stopień pierwiastka).

maciek: Ok chyba już wszystko rozumiem, dziękuję.

Jack: n to stopien pierwiastka poczatkowego np. jak masz ⁴√ i + jakies costam no to za n wstawiasz 4