dowód matematykastudia: Niech a₁=1 i a_n+1= √1+an Udowodnić, że ciąg (a_n) jest zbieżny i wyznaczyć jego granicę.

Adamm: a_n>0, można to udowodnić indukcyjnie a_n+1−a_n=√1+a_n−a_n załóżmy że √1+a_n>a_n 1+a_n>a_n² 0>a_n²−a_n−1 Δ=5

1−√5		1+√5
	<an<
2		2

od pewnego n mamy więc a_n>a_n+1 ciąg jest zatem malejący od pewnego momentu, oraz wiemy że a_n>0, dlatego jest zbieżny oznaczmy lim a_n = g, lim a_n= lim a_n+1 = lim √1+a_n = √1+g g=√1+g g²−g−1=0, rozwiązania już znamy, tylko jedno jest dodatnie, a jest nim

	1+√5
g=
	2

Adamm: źle napisałem z tą monotonicznością, może to poprawię, albo zrobi to ktoś inny

ICSP: Monotonicznośc przez indukcje : 1^o a₂ > a₁ 2^o załozenie : a_{n + 1} > a_n 3^o teza : a_{n + 2} > a_{n + 1} Dowód : a_{n + 1} > a_n a_{n + 1} + 1 > a_n + 1 √a_{n + 1} + 1 > √a_n + 1 a_{n + 2} > a_{n + 1}

Adamm: a₁≤2 zakładając że a_n≤2 1+a_n≤3 √1+a_n≤√3<2 zatem ciąg jest ograniczony z góry, stąd zbieżny, a granice masz na górze