Rozwiąz równanie Anka: Witam może ktos powie jak się za to zabrać ? (Nie było mnie wtedy w szkole jak tłumaczył nauczyciel) Na stronie z wart.bezwględna nie moge doszukać się jakiegos podobnego przykładu Oto moje równanie: |x+1|=|x−1|

Adamm: |x+1|=|x−1| x+1=x−1 lub x+1=−x+1 1=−1 lub x=0 x=0 jest rozwiązaniem

Ania : dziekuje

Jack: Mozesz to rozwiazac na kilka sposobow...(Pierwszy bedzie najprostszy) 1) zarowno po lewej jak i po prawej stronie znaku rownosci mamy wartosc bezwzgledna, a wartosc bezwzgledna z dowolnej liczby jest ≥ 0, zatem mozemy podniesc do kwadratu. (Pamietamy oczywiscie, ze |x| = √x²) |x+1| = |x−1| /² (x+1)² = (x−1)² Teraz w tym momencie mozemy to zrobic dwoma sposobami : 1^o wszystko na lewo (x+1)² − (x−1)² = 0 teraz ze wzoru a²−b² = (a−b)(a+b) (x+1−x+1)(x+1+x−1) = 0 2(2x) = 0 x=0 ==== 2^o po prostu wymnazamy wszystko, czyli majac (x+1)² = (x−1)² x² + 2x + 1 = x² − 2x + 1 4x = 0 x = 0 ==== Jak widzimy mamy to samo Teraz drugi sposob 2) |x+1| = |x−1| z def. wartosci bezwzglednej x+1 = − |x−1| lub x+1 = |x−1| Niech x+1 = − |x−1| bedzie pierwszym przypadkiem , oznaczymy jako 1⁰ a to bedzie drugim przypadkiem x+1 = |x−1| −> 2⁰ zatem najpierw 1⁰ x+1 = − |x−1| /*(−1) −x −1 = |x−1| i znowu z def. wartosci bezwzglednej x−1 = −x − 1 lub x−1 = −(−x−1) 2x = 0 lub x−1 = x +1 x=0 lub −1=1 <−−sprzecznosc teraz 2⁰ x+1 = |x−1| z def. wartosci bezwz. x+1 = x−1 lub −(x−1)=x+1 1=−1 sprzecznosc, lub −x + 1 = x+1 2x = 0 x=0 zatem odp. to x = 0 oczywiscie 2 przypadki sie nam powtarzaja, wiec mozna zauwazyc, ze jak mamy |x| = |y| to tak naprawde sa 2 rozwiazania. x = y lub x = − y Trzeci sposob 3) to sa przedzialy 1) dla x∊(−∞;−1> 2) dla x∊ (−1;1> 3) dla x∊ (1;∞) wtedy : dla 1) −x − 1 = − x + 1 − 1 = 1 sprzecznosc 2) x+1 = −x + 1 2x = 0 x=0 ∊ (−1;1> wiec jest ok. 3) x+1 = x − 1 1=−1 sprzecznosc Kazdy ze spsobow podaje jedno prawidlowe rozwiazanie, czyli x = 0.

Ania : mimo wszystko wolę ten 2 bardziej do mnie przemawia a skoro już to rozpisałeś to mam jeszcze pytanie do tego przykładu : |1−2x|+|2x−6|=x , przenosząc sb tego x na lewa stronę po rozwiązaniu otrzumuje liczbę −5 i rozumiem że jest to wyrażenie sprzeczne bo wartosć bezwględna nie może byc mniejsza bądz równa 0 tak? (w odp. mam r.sprzeczne) tak sb własnie kminię że o to chyba chodzi ? dobrze mówię

Omikron: Jack, drugi sposób trochę skomplikowałeś. Z własności wartości bezwzględnej |x|=|y| ⇔ x=y lub x=−y

Omikron: Nie doczytałem do końca, wspomniałeś o tym. Nieważne

PW: To co piszesz trudno zweryfikować: przenosząc sb tego x na lewa stronę po rozwiązaniu otrzumuje liczbę −5 − raczej świadczy o niezrozumieniu zagadnienia. Typowy "uczniowski" sposób to rozpatrzenie równania na trzech przedziałach

	1
− dla x∊(0,		>,
	2

	1
− dla x∊(		, 3),
	2

− dla x ≥ 3. Tylko na takich, bo x ≤ 0 nie warto rozpatrywać (lewa strona równania jest dodatnia, a więc i prawa − równa x − też musi być dodatnia).

PW: Skrócony sposób, ale dla "bystrzejszych", polega na skorzystaniu z nierówności |a+b| ≤ |a| + |b| prawdziwej dla dowolnych a i b. Zastosowanie tej nierówności do lewej strony równania pozwala zauważyć, że |1−2x+2x−6| ≤ |1−2x| + |2x−6| = x |−5| ≤ |1−2x| + |2x−6| = x, skąd wniosek: 5 ≤ x. Jeżeli rozwiązania równania istnieją, to muszą być liczbami z przedziału <5,∞). Dla takich x badane równanie przyjmuje postać (*) −1 + 2x + 2x − 6 = x, x∊<5,∞) 3x = 7

	3
Liczba		nie jest rozwiązaniem, gdyż nie należy do dziedziny (*). Równanie nie ma
	7

rozwiązań.

PW:

	7		3
Korekta. Liczba		, a nie		(przedostatnia linijka).
	3		7