Trudna granica Student: Jak obliczyć granicę lim{n−>inf}18ⁿ/n!

Student: A konkretniej jak udowodnić że np. n! ≥ 20ⁿ

Ania : O ile kojarzę to spróbuj z wyrażeniem (n+1)/n

g:

	18
an+1 = an*
	n+1

Dla n > 36 jest a_n+1 < a_n/2, więc lim_n→∞ a_n = 0

Student: @g a nie wystarczy wykazać, że już dla n ≥ 18 a_n > a_n+1?

g: nie wystarczy. na przykład: a_n = 1+1/n. mamy a_n+1 < a_n, a mimo to granicą nie jest 0. żeby granicą było 0, to musi być lim_n→∞ (a_n+1/a_n) < 1.

ICSP: n! ≈ (n/e)ⁿ * √2πn.

Student: Chodziło mi o to, że dla n=18 mamy: a₁₉/a₁₈ = 18/19 < 1

Adamm: mamy a_n+1<a_n/2<a_n ciąg jest malejący mamy a_n>0, oczywista nierówność zatem ciąg jest zbieżny oznaczmy lim a_n=g

	18
lim an+1 = lim an		= 0 = g
	n+1

zatem lim a_n = 0

g: czym innym jest to, że dla każdego n > N jest a_n+1/a_n < 1, a czym innym że granica < 1.

Student: Dobra Dzięki za pomoc. Muszę to jeszcze sobie przemyśleć