parabola 5-latek: Znalezc parabole stopnia drugiego przechodzaca przez 3 punkty P₁=(1,1) P₂=(−1,3) P₃=(2,3)

	(x+1)(x−2)		(x−1)(x−2)		(x−1)(x+1)
y= 1*		+3*		+3*
	(1+1)(1−2)		(−1−1)(−1−1)		(2−1)(2+1)

y= x²−x+1 (po obliczeniach

Saizou : można też skorzystać z tego że y=ax²+bx+c i podstawić kolejne punkty i mieć układ trzech równań,

	−1+2		1
albo zauważ osią symetrii tej paraboli jest prosta x=		=		i pomyśl co dalej
	2		2

5-latek: czesc Saizou Nie chcialem robic ukadem . A jak zauwazyles ze osia symetrii jest ta prosta ?

Janek191:

	− 1 + 2		1
f( − 1) = f(2) = 3 ⇒ p =		=
	2		2

Saizou : zauważ że punkty P₂ i P₃ mają tę samą współrzędną y, czyli leżą na na prostej y=3,

	x2+x3
z symetryczności paraboli mamy że oś symetrii to x=
	2

5-latek: Dobrze

	1		1
Teraz f(0,5)= a*		+b*		+c =q
	4		2

Ale nie mam dalej pomysla

5-latek: Witaj Janek191 Saizou narysowalem sobie to na ukladzie teraz i zauwazylem .

Janek191: Postać kanoniczna funkcji

Janek191: Witaj 5 − latku Jak tam zdrowie ?

Saizou : f(x)=(x−x_w)²+y_w

	1
xw=
	2

i podstaw punkt P₁

5-latek: tak Janek 191 ja o niej pomyslaem nawet tylko ze nie mam q y=a(x+0,5)²+q ale co za q ?

Janek191: Układ równań − wylicz a i q

Saizou : q to y_w, bierze się to z przesunięcia funkcji f(x)=x² o wektor [p,q]=[x_w, y_w]

Saizou : no ta, jeszcze współczynnik a

5-latek: czyli tak 1=a(1+0,5)²+y^w I mam teraz dwie niewiadome a i y_w Ale jesli za a przyjme 1 to dostane 1=2,25 +y_w −1,25= y_w Wtedy postac kanoniczna bedzie taka y=(x+0,5)²−1,25 y= x²+x+0,25−1,25 y=x²+x−1 ============== czyli musialem sie przedtem pomylic w obliczeniach

5-latek: y=(x−0,5)²+y_w 1= (1−0,5)²+y_w 1= 0,25+y_w

	3
yw=
	4

y= (x−0,5)²+U{3}[4} y=x²−x+1 ============= Nie wiem co ja tam wyzej napisalem

Mariusz: 5−latek użył interpolacji wielomianowej Lagrange

jc: Mamy nieskończenie wiele paraboli przechodzących przez 3 punkty. Drugi przykład: 6−x−y = (x−y+2)²

5-latek: Witam Mariusz znalazlem taki wzor i chcialem go wyprobowac jc Porobie sobie pare zadan z kwadratowej i wroce do tego jeszcze ,zwlaszcze ze widzialem podobne zadania w zbiorze z wielomianow tez .

Mariusz: Jeżeli masz danych n+1 punktów to ta interpolacja pozwoli ci znaleźć wielomian stopnia n przechodzący przez te punkty Napisałem nawet programik w C do tej interpolacji (w C bo użyłem tablic z dynamiczną alokacją pamięci a w Pascalu miałem tylko tablice o stałym rozmiarze Może coś dałoby się wykombinować wskaźnikami ale miałem je ponad 15 lat temu)

5-latek: Witaj Mariusz To byloby praktyczne zastosowanie tej interpolacji . Masz 7 punktow piszsesz wielomioan stopnia 6 szostego .

Mariusz: Zastosowanie interpolacji jest też takie masz dane wartości funkcji w kilku punktach a chcesz znaleźć przybliżoną wartość funkcji w innym punkcie należącym do przedziału (min(x),max(x)) min(x) najmniejsza wartość odciętej pośród podanych punktów max(x) największa wartość odciętej pośród podanych punktów

Mariusz: Jak masz ∑_k=0ⁿ k^m m=const to możesz użyć funkcji tworzącej , rachunku różnicowego i dolnych silni albo właśnie wypisać kilka wartości takiej sumy i zastosować interpolację (zadziała bo suma ta jest wielomianem)

5-latek: Na razie CI bardzo dziekuje za wiadomosci To sa bardzo wazne wiadomosci . Podejrzewam ze nawet niektorzy studenci o tym nie wiedza Moze ktos tez skorzysta .

Mariusz: Kiedyś pokazywałem Vaxowi jak rozwiązywać równania wielomianowe trzeciego i czwartego stopnia i jakoś się to udało Teraz gdy próbowałem pokazać zefowi jak liczyć calki nieoznaczone to już mi nie wyszło Nie reagował gdy mu napisałem że algebra przydaje się do całkowania funkcji wymiernych poza tym przestał odpowiadać i nawet nie skończyliśmy z całkowaniem funkcji wymiernych Został nam przypadek gdy dobre efekty daje wydzielenie części wymiernej całki Chciałem aby najpierw dobrze przećwiczył całkowanie funkcji wymiernych ponieważ wiele podstawień sprowadza całki do całek z funkcji wymiernej − podstawienia Eulera −podstawienia Czebyszowa (z różniczką dwumienną) − trygonometryczne podstawienie (w lit ang Weierstrass' substitution) Z uczniami takimi jak Vax lepiej się współpracuje ale w klasie są też mniej zdolni jak zef więc nauczyciel im także powinien umieć przekazać wiedzę Aby pomóc na forum uczeń musi reagować na polecenia bo my dwójek nie dajemy Co do interpolacji , pytanie Skąd bierze się wzorek na wielomian interpolacyjny Lagrange

5-latek: Mariusz Ja to jeszce dobrze doczytam gdy bede przy wielomianoach gdyz tam tez beda wielomiany symetryczne Znalazlem do tego takie twierdzenie w tej ksiazce Istnieje jedyny wielomian P_n(x) stopnia nie wyzszsego od n majacy te wlasnosc ze jego wartosci przy n+1 danych roznych wartosciach zmiennej x = x₁,x₂, x₃,... ,x_n+1 sa odpowiednio rowne danym liczbom y₁,y₂ ... y+{n+1} Jest przedstawiony dowod tez Ale jak mowie wroce do tego przy wielomianach ,jesli pozwolisz .

Mariusz: Jeżeli po dowolnej permutacji zmiennych otrzymamy ten sam wielomian to wielomian jest symetryczny (każde przestawienie wyrazów ciągu to już inna permutacja)