jc:
Funkcja log jest funkcją wypukłą.
x log a + y log b ≤ log (xa + yb), x,y ≥ 0, x+y=1, a,b > 0
Podstawmy x=b/(a+b), y=a/(a+b).
xa+yb = 2ab/(a+b) ≤ (a+b)/2 bo 4ab ≤ (a+b)
2.
Mamy więc
| b | | a | | 2ab | | a+b | |
| log a + |
| log b ≤ log |
| ≤ log |
| |
| a+b | | a+b | | a+b | | 2 | |
Teraz wystarczy pozbyć się logarytmów (log jest funkcją rosnącą).
?