monotonicznosc funkcji wymiernej PrzyszlyMakler: monotoniczność funkcji wymiernej. Witam. Mam pytanie, czy da się sprawdzić w sposób algebraiczny monotoczniczność funkcji wymiernej? Podkreślam− nie rysując wykresu?

	2x+2		4
No i dla przkładu jakaś funkcja wymierna f(x) =		po uproszczeniu =		+ 2
	x−1		x−1

Jerzy: Tak , licząc jej pochodną.

PrzyszlyMakler: czy to jedyny sposób?

Bogdan: Nie, nie jedyny. Można zbadać znak różnicy f(x₂) − f(x₁) przy założeniu x₂ − x₁ > 0 osobno w przedziałach: (−∞, 1), (1, +∞). Jeśli f(x₂) − f(x₁) > 0 to funkcja w określonym przedziale jest rosnąca, a jeśli f(x₂) − f(x₁) < 0 to jest malejąca

Jack: ewentualnie z definicji. 1) zakladamy, ze x₂ > x₁ (oczywiscie x₁,x₂ ∊ D_f) wtedy badamy f(x₂) − f(x₁) jesli jest > 0 to funkcja rosnie, jesli < 0 to maleje, jesli = 0 to jest stala. jesli ≤ albo ≥ to albo nierosnaca albo niemalejaca. no to jedziem.

	2x2+2		4
f(x2) =		=		+ 2
	x2−1		x2−1

	4
f(x1) = ... =		+ 2
	x1−1

	4		4		4		4
f(x2) − f(x1) =		+ 2 − (		+ 2) =		−		=
	x2−1		x1−1		x2−1		x1−1

	4x1 − 4 − 4x2 + 4		4(x1 − x2)
=		=
	(x2−1)(x1−1)		(x2 − 1)(x1 − 1)

No i teraz, zalozylismy, ze x₂ > x₁ czyli inaczej x₂ − x₁ > 0 zatem x₁ − x₂ < 0 czyli licznik ujemny.

Jack: i teraz wykorzystujemy post Bogdana czyli w przedzialach (−∞;1) , (1;∞) zatem 1) dla x₁,x₂ ∊ (−∞;1) mianownik to (x₂−1)(x₁−1) x₂ − 1 < 0 (bo dziedzina) x₁ − 1 < 0 (to samo) zatem mianownik jest > 0 czyli skoro licznik jest < 0, a mianownik jest > 0 to funkcja maleje w tym przedziale. teraz 2) x₁,x₂ ∊ (1;∞) analogicznie.

Omikron: Przyszły makler, i teraz po przeczytaniu tych rozwiązań odpowiedz na pytanie, czy ta funkcja jest monotoniczna?

PW:

	2x+2		2(x−1)		4
f(x) =		=		+
	x−1		x−1		x−1

Dla x = 1 nie jest określona, dla pozostałych x ma definicję

	4
f(x) = 2 +		.
	x−1

Można powołać się na znane (oczywiste) własności funkcji

	4
g(x) =		,
	x

gdyż funkcja f powstała z funkcji g w wyniku przesunięcia o wektor [1,2]. Formalnie − wykres funkcji f itd.