Równanie różniczkowe Benny: Znalazłem nierozwiązanie równanie różniczkowe. Może ktoś zechce się pobawić?

	−1		1
y'=		+
	y   1−   x		y2   y−   x

Mariusz: Spróbuj znaleźć jakieś podstawienie albo poszukać czynnika całkującego

Mariusz: Po uproszczeniu dostaniemy

dy		−xy		x
	=		+
dx		y(x−y)		y(x−y)

dy		x(y−1)
	=−
dx		y(x−y)

dy		x(y−1)
	+		=0
dx		y(x−y)

x(y−1)dx+y(x−y)dy=0 Jeżeli chcesz podstawiać to Niech x=X(ξ,η) y=Y(ξ,η) P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0

	δX		δy
[P[X(ξ,η),Y(ξ,η)]		+Q[X(ξ,η),Y(ξ,η)]		]dξ+
	δξ		δξ

	δX		δy
[P[X(ξ,η),Y(ξ,η)]		+Q[X(ξ,η),Y(ξ,η)]		]dη=0
	δη		δη

Jeżeli chcesz szukać czynnika to Załóżmy że czynnik jest o rozdzielonych zmiennych

δμP		δμQ
	=
δy		δx

μ(x,y)=φ(x)ψ(y)

δφ(x)ψ(y)P		δφ(x)ψ(y)Q
	=
δy		δx

	dψ(y)		δP(x,y)		dφ(x)		δQ(x,y)
φ(x)		P(x,y)+φ(x)ψ(y)		=ψ(y)		Q(x,y)+φ(x)ψ(y)
	dy		δy		dx		δx

	δP(x,y)		δQ(x,y)		dφ(x)		dψ(y)
φ(x)ψ(y)		−φ(x)ψ(y)		=ψ(y)		Q(x,y)−φ(x)		P(x,y)
	δy		δx		dx		dy

	δP(x,y)		δQ(x,y)		dφ(x)		dψ(y)
φ(x)ψ(y)(		−		)=ψ(y)		Q(x,y)−φ(x)		P(x,y)
	δy		δx		dx		dy

δP(x,y)		δQ(x,y)		dφ(x)	1		dψ(y)	1
	−		=			Q(x,y)−			P(x,y)
δy		δx		dx	φ(x)		dy	ψ(y)

Niech

dφ(x)	1
		=f(x)
dx	φ(x)

dψ(y)	1
		=g(y)
dy	ψ(y)

dφ(x)
	=f(x)dx
φ(x)

dψ(y)
	=g(y)dy
ψ(y)

Mamy wtedy

δP(x,y)		δQ(x,y)
	−		=Q(x,y)f(x)−P(x,y)g(y)
δy		δx

Przyjmijmy że czynnik całkujący jest funkcją złożoną dwóch zmiennych (w tym przypadku mamy łatwiej jeżeli mamy daną funkcję wewnętrzną) μ=μ[ω(x,y)] P=P(x,y) Q=Q(x,y)

δμP		δμQ
	=
δy		δx

δμ		δP		δμ		δQ
	P+μ		=		Q+μ
δy		δy		δx		δx

δμ		δμ		δQ		δP
	P−		Q=μ		−μ
δy		δx		δx		δy

δμ		δμ		δQ		δP
	P−		Q=μ(		−		)
δy		δx		δx		δy

dμ	δω		dμ	δω		δQ		δP
		P−			Q=μ(		−		)
dω	δy		dω	δx		δx		δy

dμ		δω		δω		δQ		δP
	(		P−		Q)=μ(		−		)
dω		δy		δx		δx		δy

dμ		δQ   δP   − δx   δy
	=		dω
μ		δω   δω   P− Q δy   δx

δQ   δP   − δx   δy
	=φ(ω)
δω   δω   P− Q δy   δx

dμ
	=φ(ω)dω
μ

Mariusz: Po podstawieniu możesz otrzymać równanie znanego typu np o rozdzielonych zmiennych, liniowe Po przemnożeniu równania przez czynnik całkujący wystarczy rozwiązać układ równań

δF
	=μ(x,y)P(x,y)
δx

δF
	=μ(x,y)Q(x,y)
δy

Rozwiązaniem będzie wtedy F(x,y)=C

Mariusz: Benny a ty jak próbowałeś rozwiązać te równanie ? Jakie z zagadnień w poniższym temacie mieliście na wykładach https://matematykaszkolna.pl/forum/331558.html

Benny:

	y
Sorry, że nie odpisałem wcześniej. Ja próbowałem proste podstawienie u=		, dopiero w tym
	x

semestrze zacząłem równania różniczkowe. Na wykładach doszliśmy do 7 punktu (może i 8).

Benny: Co do zaliczenia to jeszcze nie wiem dokładnie co ma być na ustnym.

Mariusz: Na algebrze miałeś takie rzeczy jak wartości własne , wektory własne , diagonalizacja, rozkład Jordana macierzy , exponenta macierzy ? Będą przydatne przy rozwiązywaniu układów równań różniczkowych Co do równania Ja doszedłem do tzw równania Abela tylko że zmienną niezależną musi być y

	1		1
y'=−		+
	y   1−   x		y2   y−   x

	1		1
y'=−		+
	y   1−   x		y   y(1− )   x

	yx		x
y'=−		+
	y   yx(1− )   x		y   yx(1− )   x

	x(y−1)
y'=−
	y(x−y)

	x(y−1)
y'+		=0
	y(x−y)

x(y−1)+y(x−y)y'=0 x(y−1)dx+y(x−y)dx=0

	1
x=
	u

y=v

	1		1		1		1		1
(		(v−1)(−		)+v(		−v)*0)du+(		(v−1)*0+v(		−v)*1)dv
	u		u2		u		u		u

	v−1		1−uv
−		du+v		dv=0
	u3		u

	v−1	du		1−uv
−			+v		=0
	u3	dv		u

du		v−uv2	u3
	−			=0
dv		u	v−1

du		v2		v
	+		u3−		u2=0
dv		v−1		v−1

https://www.hindawi.com/journals/ijmms/2011/387429/#sec2 http://www.m-hikari.com/ams/ams-2013/ams-41-44-2013/salinasAMS41-44-2013.pdf Przejrzyj te propozycje rozwiązania tego równania

Benny: Na razie myślę, że to nie ma sensu ze względu na to, że dopiero zacząłem równania różniczkowe

Mariusz: Gdybyśmy mieli równanie

	1		x
y'=−		+
	y   (1− )   x		y   y(1− )   x

to podstawienie którego chciałeś użyć byłoby dobre a tak równanie się komplikuje

Mariusz: Na którym semestrze jesteś ? Czytałem że mają ochotę usunąć równania cząstkowe z programu nauczania

Benny: Na trzecim. Równania cząstkowe widziałem można wybrać na ostatnim semestrze. Tutaj możesz popatrzeć. http://syllabuskrk.agh.edu.pl/2015-2016/pl/magnesite/study_plans/stacjonarne-matematyka

Mariusz: Jeżeli chodzi o równania różniczkowe to trochę powinieneś pamiętać po przeczytaniu Rachunku różniczkowego i całkowego Franciszka Lei Tę pozycję powinieneś mieć na analizie matematycznej I Mogłbyś wypisać spis tematów jakie masz na zaliczenie (nie tylko z równań różniczkowych)

Benny: Nie posiadam Lei. Mam wszystkie tomy Fichtenholza. Co do zaliczeń to jeszcze nie mam spisu tematów na zaliczenie, ale mogę się dowiedzieć. Mogę wiedzieć do czego Ci to potrzebne?

Mariusz: Chciałem po prostu sobie przejrzeć i sprawdzić co byłbym w stanie zaliczyć Fichtenholz nie ma równań różniczkowych Leja miał trochę ale same podstawy które mogą nie wystarczyć aby zaliczyć równania różniczkowe Miałeś na algebrze takie rzeczy jak wartości własne, wektory własne, diagonalizacja, rozkład Jordana, exponenta macierzy Przydaje się do układów równań różniczkowych (liniowych o stałych współczynnikach) Równanie liniowe wyższego rzędu możesz zapisać w postaci układu równań różniczkowych liniowych Gdybyś chciał sprowadzić układ równań różniczkowych liniowych do równania liniowego wyższego rzędu to też jest to możliwe

Benny: Na algebrze miałem wszystko bez exponenty macierzy.

5-latek: Moze zobacz do Matematyka Podrecznik dla inzynierskich studiow zawodowych Tom 2 pod redakcja Edwarda Otto

Benny: Cześć 5−latku Powiesz mi co tam mogę znaleźć?

Mariusz: Jeśli masz układ równań postaci x'=Ax to rozwiązaniem jest x=e^Atx₀ więc kiepsko że tego nie miałeś ale skoro miałeś wartości i wektory własne to powinieneś sobie poradzić , jest też metoda eliminacji która działa podobnie do podstawiania w układach równań liniowych znanych z algebry Liczysz wartości i wektory własne 1. Wartości własne są różne i rzeczywiste Funkcja wektorowa postaci v_ke^λ_kt spełnia układ równań Rozwiązanie ogólne jest kombinacją liniową niezależnych rozwiązań szczególnych układu (ich liczba powinna być równa liczbie kolumn układu) 2. Wartości własne są różne ale mogą być zespolone Także liczysz dla zespolonej wartości własnej wektor własny ale oddzielasz część rzeczywistą od urojonej , Część rzeczywista i część urojona są niezależnymi rozwiązaniami szczególnymi Jeżeli elementy macierzy A są rzeczywiste to zespolone wartości własne występują parami sprzężone i wtedy wystarczy wziąć jedną wartość bo po oddzieleniu części rzeczywistej od urojonej i tak dostaniemy dwa niezależne rozwiązania 3. Wartości własne są wielokrotne W tym przypadku liczysz uogólnione wektory własne (A−λI)^kv=0 k krotność wartości własnej Funkcje wektorowe e^λtBv₁, e^λtBv₂,...,e^λtBv_k są niezależnymi rozwiązaniami układu B jest "sumą częściową exponenty macierzy" sumujemy k wyrazów szeregu

5-latek: Czesc Benny Juz CI pisze dzialy 1. Rachunek calkowy funkcji wielu zmiennych 2. Elementy teorii pola 3 Ciagi i szseregi 4. Rownania rozniczkowe zwyczajne 5. Funkcje analityczne 6. Przeksztalcenie Laplace'a 7. Elelmty rachunku prawdopodobienstwa Ksiazka jest 1972r . .Tylko to jest tom 3 (nie drugi

Benny: Dzięki, poczytam o tym.

Benny: Wiesz może czy dostępna jest ta książka?

5-latek: Nie wiem. Moze bedziesz mial u siebie w biliotece .

Benny: W moim miasteczku na pewno nie będzie. Jak wrócę do Krakowa to sprawdzę.

Mariusz: Jak zapisać równanie liniowe wyższego rzędu w postaci układu równań liniowych rzędu pierwszego? np y''−6y'+9y=0 y''=6y'−9y Niech y'=u mamy wówczas u'=6u−9y y'=u Mamy układ równań gdzie x'=Ax macierz A jest postaci 6 −9 1 0 a macierz x jest postaci u y

Mariusz: 5−latek dlaczego przekształcenie Laplace jest tak późno to już nie ma metody operatorowej na równaniach różniczkowych ?

5-latek: Nie wiem Mariusz . Pytal o rownania rozniczkowe wiec sprawdzilem ze sa w tym tomie i podalem dzialy . .

zombi: Ja polecę od siebie Wstęp do teorii równań różniczkowych cząstkowych, autorstwa ś.p. Hanny Marcinkowskiej

Mariusz: Z tym przekształceniem Laplace to chodzi o coś takiego L(f(t))=∫₀^∞f(t)e^−stds Jeśli chodzi o to początkowe równanie to równanie Abela jest takim uogólneniem równania Riccatiego i jeden z pomysłów jakie widziałem to właśnie sprowadzenie równania Abela do układu równań gdzie jednym z równań jest równanie Riccatiego Równanie Riccatiego jest o tyle łatwiejsze do rozwiązania że gdy znamy całkę szczególną możemy równanie sprowadzić do Bernoulliego bądź liniowego pierwszego rzędu Gdy nie mamy całki szczególnej równania Riccatiego to nadal możemy je sprowadzić do równania liniowego drugiego rzędu ale o zmiennych współczynnikach więc nie zawsze łatwo będzie je rozwiązać

Mariusz: zombi, kolega Benny jeszcze rozwiązywać równań zwyczajnych dobrze nie umie (dopiero się uczy) a ty już mu każesz czytać o cząstkowych

zombi: Spokojnie, na dalszą lekturę pewnie na tym Benny nie spocznie!

Benny: Dzięki! Wszystko się przyda

Mariusz: L(f(t))=∫₀^∞f(t)e^−stdt bo po przekształceniu powinna wyjść funkcja zależna od s zombi , właśnie kiedyś ktoś na forum napisał że równania cząstkowe chcą usunąć z programu nauczania Coś w tym jest skoro Benny napisał że jest to już przedmiot do wyboru

Mariusz: https://matematykaszkolna.pl/forum/331558.html Tutaj wypisałem co mogą mieć na wykładzie i z tego wychodzi że w najbliższym czasie będą mieli równania liniowe wyższych rzędów i układy równań różniczkowych Na wykładzie z równań różniczkowych zwykle przekształcasz układ równań różniczkowych liniowych w równanie liniowe wyższych rzędów (postępujesz analogicznie jak w metodzie podstawiania znanej z algebry) W metodach numerycznych zwykle postępujesz odwrotnie czyli zapisujesz równanie liniowe wyższych rzędów w postaci układu równań różniczkowych i stosujesz ulubioną metodę numeryczną Najprostsza i zarazem najmniej dokładna jest metoda Eulera Popularną jest także metoda Rungego−Kutty W pewnych skryptach metodą Eulera jest nazywana metoda z wartościami i wektorami własnymi którą naszkicowałem w poprzednim wpisie ale jest także metoda numeryczna Eulera Układy równań różniczkowych można rozwiązywać zapisując je w postaci symetrycznej i znajdując ich niezależne całki pierwsze (tyle niezależnych całek pierwszych ile równań ma układ)

Mariusz: https://www.matematyka.pl/profiles/125808.htm Benny czy ten użytkownik to ty ?