exponenta macierzy Mariusz: Macie jakiś pomysł na obliczenie exponenty macierzy najlepiej bez rozwiązywania układu równań różniczkowych Jeśli chodzi o układy równań różniczkowych to w skryptach mamy takie metody 1. Metoda całek pierwszych (zapisanie układu w postaci symetrycznej i znalezienie niezależnych całek pierwszych tego układu) 2. Metoda eliminacji (podobna do metody podstawiania dla układów znanych z algebry liniowej) 3. Metoda Eulera (wartości własne i uogólnione wektory własne odpowiadające danej wartości własnej) 4. Metoda operatorowa (zastosowanie przekształcenia Laplace) Jeśli chodzi o exponentę macierzy to interesuje mnie sposób z jakimś rozkładem macierzy

jc: Rozkład Jordana (suma komutujących macierzy − macierzy nilpotentnej i diagonalizowalnej) rozwiązuje problem.

Mariusz: Właśnie chodzi o to jak wykorzystać ten rozkład i jak go znaleźć ? W przypadku gdy mamy tyle samo liniowo niezależnych wektorów własnych co kolumn macierzy co ma miejsce np w przypadku różnych wartości własnych to rozkład ten pokrywa się z diagonalizacją Dlaczego nie chcę sposobu z układem równań różniczkowych ? Co jeśli exponentę chcielibyśmy wykorzystać do rozwiązania takiego układu ?

Mariusz: Z przypadkiem gdy macierz jest diagonalizowalna sobie poradzę bo wtedy kolumny macierzy przejścia Patrzyłem jak amerykańcy rozwiązują układy równań różniczkowych i po znalezieniu wektorów własnych rozwiązują układy równań (A−λI)v₂=v₁ (A−λI)v₃=v₂ itd Jednak co jeśli układ równań (A−λI)v₂=v₁ będzie sprzeczny dla każdego znalezionego wektora własnego (ostatnio znalazłem przykład takiej macierzy) Dlatego przydałby się jakiś ogólny sposób znajdowania tego rozkładu Myślę że wystarczy skupić się na macierzy przejścia

jc: Napisz macierz.

Mariusz: Chodzi mi o ogólny schemat Skrypty z których korzystam rozbiegają się z tym co jest na wykładach na uniwersytetach Gdy napisałem że dla układów równań różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach wystarczy policzyć wartości i wektory własne (w przypadku wielokrotnych wartości własnych te uogólnione) to jeden z użytkowników forum napisał że potrzebna jest macierz przejścia Wiem że gdy rozwiązujemy zadanie inaczej niż ulubioną metodą prowadzącego to zadanie może nie być zaliczone "Metoda amerykańska" zawodzi gdy mamy np układ równań z macierzą 2 −2 −3 2 −3 6 −1 2 4 jednak jak już pisałem lepszy byłby ogólny schemat

jc: Tu akurat nie ma problemu z diagonalizacją: ma 3 różne wartości własne. Aby znaleźć exp(tA) nie musisz diagonalizować A. exp(tA) = f(t) + g(t)A + h(t)A² Mogę poszukać w notatkach. Mam gdzieś wzory na f,g,h (wystarczy znać wartości własne).

Mariusz: a tak zgubiłem minusa 2 −2 −3 2 −3 −6 −1 2 4 to wszystko przez to że nie ma porządnego latexa i edycji wpisów Rozwiązania w skryptach opierają się na tym że rozwiązując układ równań różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach nie szukamy exponenty macierzy tylko x=e^Atv Niech e^Atv=e^{λIt+(A−λI)t}v=e^λte^(A−λI)tv Teraz jeśli założymy że (A−λI)^kv=0 gdzie k to krotność wartości własnej to nie musimy sumować wyrazów szeregu do nieskończoności W skryptach było że jest k liniowo niezależnych wektorów spełniających równanie (A−λI)^kv=0 czyli tyle ile potrzeba W przypadku gdy wartości własne są zespolone a elementy macierzy są rzeczywiste wartości własne są parami sprzężone i aby dostać liniowo niezależne rozwiązania szczególne wystarczy oddzielić część rzeczywistą od urojonej W skryptach mniej więcej w ten sposób przedstawiają tzw metodę Eulera Na wykładach chyba jednak korzystają z rozkładu bo jeden z użytkowników forum wspominał coś o macierzy przejścia Twój pomysł działa także dla wielokrotnych wartości własnych ? Poza tym co jeśli chcielibyśmy rozwiązać układ równań różnicowych zamiast układu równań różniczkowych − wtedy potrzebna będzie potęga macierzy

jc: Teraz jest zupełnie prosto. (A−1)³ = 0

	t2
etA = et et(A−1) = et [ 1 + t(A−1) +		(A−1)2 ]
	2

Mariusz: Jeżeli dobrze pamiętam to nawet (A−I)²=0 ale bardziej bym był zadowolony z ogólnego sposobu szukania macierzy przejścia Jeśli chodzi o przypadek macierzy diagonalizowalnej to na głównej przekątnej macierzy diagonalnej są wartości własne a wektory własne to kolumny macierzy przejścia Wektory własne są ustawiane zgodnie z kolejnością wartości własnych na głównej przekątnej macierzy diagonalnej Jak to jest dla macierzy które nie są diagonalizowalne ?

Mariusz: Benny pisał że rozkład Jordana jeszcze jest na wykładach Gilbert Strang mówił że rozkład Jordana był na MIT ~30 lat temu teraz go nie mają Wspominał coś o tym rozkładzie przy okazji podobieństwa macierzy ale najważniejszego czyli sposobu szukania macierzy przejścia nie pokazał Powiedział coś takiego I am not that crazy about Jordan form Jednak gdyby chciał rozwiązywać układ równań z macierzą którą podałem ich sposobem to by miał problem