ciągi ograniczoność Ralf: Czesc. Kolejny problem mnie napotkał z ograniczeniami zbiorów, tym razem z ciągami. Mam

	1		1		1		1
pokazać, że ciąg an =		+		+		+...+		jest ograniczony.
	12		22		32		n2

	1		1		1
Na wykładzie profesor napisał coś takiego : an =		+		+		+...+
	12		22		32

	1		2n
		≤		i indukcyjnie na tym dowodził, że jest ograniczony. dalej było coś
	n2		n+1

takiego :

	1		1		1		1		1		2(n+1)
an+1 =		+		+		+...+		+		≤
	12		22		32		n2		(n+1)2		n+2

	2(n+1)
i dalej, że 0≤an≤		=2
	n+1

	2n
Zastanawia mnie skąd w pierwszej linijce się wzięło to, że an≤		. wiem, że to prawda,
	n+1

ale skąd się to wzięło? dalej skąd na końcu wniosek, że a_n≤2 ? Ktoś będzie potrafił mi to wyjaśnić?

jc:

1		1		1		1		1
	<		=		=		−
k2		k2−1/4		(k−1/2)(k+1/2)		k−1/2		k+1/2

Dlatego

	1		1		1		1		1
Sn <		+		+		+ ... +		= 2 −		< 2
	12−1/4		22−1/4		1−1/4		n2−1/4		n+1/2

Ralf: Mógłbyś mi to bardziej przybliżyć? skąd się to bierze? mam sam na takie coś wpaść, czy z czegoś

	2n
to wynika z zadania? i wciąż nie wiem skąd wykładowca wziął
	n+1

jc: Wymyślił sobie, aby poszła indukcja. Mógł wziąć coś innego. S_n < 1 + 1/1/2 + 1/2/3 + 1/3/4 + ... 1/(n−1)/n = 1 + (1−1/2) + (1/2−1/3) + (1/3−1/4) + (1/(n−1) − 1/n) = 2−1/(n+1) = (2n+1)/(n+1) Można było wziąć (2n+1)/(n+1).

Ralf: Ok, rozumiem, dziękuję.