Zbieżność ciągu znajomy01: Wykaż zbieżność ciągu:

	1		1		1
an =		+		+ ... +
	n+1		n+2		n+n

Adamm: a_n+1−a_n>0

	1
0<an≤∑k=1n		= 1
	n

ciąg jest rosnący i ograniczony, dlatego zbieżny

znajomy01: a dlaczego jest rosnący?

Adamm: a_n+1−a_n>0

znajomy01:

	1		1		1
a ciąg an =		+		+ ... +		?
	12		22		n2

Adamm: a_n+1−a_n>0

	1		1		1
0<an≤1+		+		+...+		<2
	2		4		2n

ciąg jest rosnący i ograniczony z góry, stąd zbieżny

Adamm: stój, jeszcze raz

Adamm: znasz kryterium całkowe?

Adamm:

	1		1		1
∫1∞		dx = lim(n→∞)[−		]1n = lim(n→∞) −		+1 = 1
	x2		x		n

z kryterium całkowego a_n jest zbieżny

znajomy01: czegoś nie rozumiem.. n jest w mianowniku no to jak mianownik się zwiększa to jest coraz mniej.. to a_n nie jest czasem większe od a_n+1 i nie jest to ciąg malejący?

Adamm: nie, to ciągu a_n dodajesz liczbę dodatnią wraz z większym n, więc jest rosnący

znajomy01:

	1
a1 =
	2

	7
a2 =
	12

	37
a3 =
	60

o takie coś chodzi?

znajomy01: //dla 1 ciągu

Adamm:

	1		1		1
dla pierwszego ciągu masz an+1−an=		+		−		=
	2n+1		2n+2		n+1

	1
=		>0
	(2n+2)(2n+1)

jc: granica = ln 2

znajomy01:

	1		1		1
wracając na moment, to ciąg an =		+		+ ... +		jest rosnący i
	n+1		n+2		n+n

0≤a_n≤2?

Adamm: tak