. Janek: Wykazać że ciąg jest zbieżny.

	3		3		3
an=		+		+...+
	3+1!		32 +3!		3n +n!

	3		3		3
an=		+		+...+
	3+1!		32 +3!		3n +n!

	3		3		3
an+1=		+		+...+
	3+1!		32 +3!		3n+1 +(n+1)!

	3
an+1 −an=
	3n+1 +(n+1)!

i teraz nie wiem co zrobić proszę o wskazówki.

Adamm:

	1		1		1		1
0<an≤3*(		+		+		+...+		) gdzie prawa strona jest ciagiem
	3		32		33		3n

geometrycznym ciąg a_n jest rosnący i ograniczony z góry, stąd zbieżny

Janek: możesz mi trochę jaśniej wyjaśnić to ogaraniczenie od góry nie rózumiem jak Ci tam wyszło to

	1
ograniczenie 3*(		+... gdzie sie podziały te silnie itd.
	3

i jeśli jest zbieżny to do czego? do 0?

Adamm:

	3
ciąg jest rosnący, to sam pokazałeś ponieważ		>0
	3n+1+(n+1)!

	3		3
popatrz się teraz na szereg an, mamy wyrazy typu		≤		zgadzasz się?
	3n+n!		3n

	3
więc sumując, mamy szereg geometryczny z prawej, zbieżny do		, więc ciąg
	2

	3
an jest ograniczony z góry przez		, fakt że jest rosnący oraz ograniczony wystarcza
	2

żeby powiedzieć że jest zbieżny

Janek:

	3
ok chyba rozumiem, może poza tym jak doszedłeś do tego że jest ograniczony przez
	2

Adamm:

	1
obliczyłem ∑n=0∞
	3n

Janek: ok dzięki za pomoc