Nie wierze ze juz sie ucze pierwszoroczniak: Ja niby tu jak sprawdzalam nie widze bledu, ale jakby by byl ktos tak mily to dla pewnosci wstawiam niby moja niekompletna notatke z wykladow Warunek konieczny istnienia ekstremum: jezeli funkcja f(x) jest okreslona i ciagla w punkcie x₀, jezeli w punkcie x₀ ma ekstremum topochodna funkcji f'(x)=x₀=0 Warunek dostateczny istnienia ekstremum:funkcja f(x) ma w punkcie x_o jezeli w otoczeniu tego punktu jej pochodna zmienia znak. Jezeli pochodna znaku nie zmienia to pochodna nie ma ekstremum Puntk w ktorym jest spełniony warunek konieczny nazywany punktem stacjonarnym. Koncamy przedziałow monotonicznosci sa konce przedziałow okreslonicznosci lub puntky w ktorym funkcja okresla ekstremum.

pierwszoroczniak:

Janek191: f '( x₀) = 0

5-latek : A lietratura polecana lub jakis skrytp pewnie milczy jak zklaety na ten temat

Mila: 1) jeżeli funkcja różniczkowalna w przedziale osiąga w pewnym punkcie wewnętrznym x₀ tego przedziału ekstremum lokalne, to pochodna w tym punkcie f'(x₀)=0. 2) Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe. Przykład. f(x)=x³ f'(x)=3x² f'(x)=0⇔3x²=0⇔x=0 jednak w punkcie x=0 ta funkcja nie posiada ekstremum . Patrz wykres: ( ta funkcja w punkcie x=0 ma punkt przegięcia ) 3) Jeżeli pierwsza pochodna f'(x) : dla x<x₀ jest ujemna (dodatnia) f'(x₀)=0 dla x>x₀ jest dodatnia (ujemna) to posiada w x₀ ekstremum. Słownie wyrazimy tak: pierwsza pochodna przy przejściu zmiennej przez punkt x₀ zmienia znak , z ujemnego na dodatni to f(x) ma w x₀ ekstremum− minimum, jeżeli f'(x) przy przejściu zmiennej przez punkt x₀ zmienia znak z dodatniego na ujemny to f(x) ma w x₀ ekstremum− maksimum 4) Krótko: funkcja różniczkowalna ma w x₀ ekstremum wtedy i tylko wtedy gdy f'(x)=0 i i pochodna zmienia znak przy przejściu przez punkt x₀.