Algebra - podpierścienie xyz: Proszę o pomoc Udowodnić, że jeśli P1 i P2 są podpierścieniami pierścienia P oraz P1 ∪ P2 jest podpierścieniem pierścienia P, to P1 ⊆ P2 lub P2 ⊆ P1.

Hilbert: Przypuśćmy nie wprost, że istnieje x∊P1\P2 oraz istnieje y∊P2\P1. Oczywiście x∊P1∪P2 oraz y∊P1∪P2. Skoro P1∪P2 jest pierścieniem, to x+y∊P1∪P2 (symbolem + oznaczam działanie z którym P1∪P2 jest grupą), więc x+y∊P1 lub x+y∊P2. Jeśli x+y∊P1, to (x+y)+(−x)=y∊P1, co daje sprzeczność. Przypadek x+y∊P2 rozważamy w sposób analogiczny.

xyz: Dziękuję!