mat Paweł: Skoro ⁿ√z = {Z₀, Z₁, ..., Z_n−1} to czy ³√1 zapisuje się jako {1₀, 1₁, 1₂}?

Janek191: Zapisujemy: z₀, z₁, z₂

Paweł: Więc będzie ³√1 = {Z₀, Z₁, Z₂}?

Janek191: Oblicz : z₀, z₁, z₂

Paweł: Właśnie tak nad tym myślę. Póki co podstawiłem pod wzór i od dłuższego czasu myślę co dalej. Będę wdzięczny za wskazówki

	α		α
Z0 = 3√r(cos		+ isin		)
	3		3

	α + 2π		α + 2π
Z1 = 3√r(cos		+ isin		)
	3		3

	α + 4π		α + 4π
Z2 = 3√r(cos		+ isin		)
	3		3

Wyglądałoby na to, że potrzebuję wartości r oraz α..

Janek191: 1 = cos 0 + i sin 0 więc α = 0

Janek191: r = 1

PW: r to odległość liczby (a,b) od (0,0), a więc tutaj r = 1, bo odległość liczby (1, 0) od (0, 0) wynosi 1. α = 0, bo 1 = cos0 + i sin0.

Paweł:

	1		√3
Więc jakby liczyć nie z 1 a z np. √2 to α=45, albo z		+		to α=30?
	2		2

Pytanie jeszcze dlaczego r = 1? Moja wiedza dot r ogranicza się do znajomości wzoru i interpretacji geometrycznej: r = |z| = √x² + y²

Paweł: PW − dla pewności zapytam: tutaj liczyłem z=1 czyli zespoloną, która nie ma części urojonej, a więc r = |Re(z)|? Jakbym miał np. 3+2i to byłoby r = √3² + 2² = √13?

cds:

5-latek: Pierwiastki stopnia trezeciego z jednosci mozna policzyc z postaci trygonometrycznej ale rozmiez rozwiazujac rownie z³=1 Dostaniemy wtedy ω₀=1

	−1+i√3
ω1=
	2

	−1−i√3
ω2=
	2

Warto znacna pamiec te wartosci bo bardzo czesto sie przydaja Bo np chcac obliczyc p3{8] to wiesz ze jednym z pierwiastkow jest u₀= 2 to u₁= 2*ω₁ i u₂= 2*ω₂ Nie trzeba wtedy tak duzo sie oliczyc .

Janek191: Tak

Paweł: Dziękuje

Mila: Liczba pod pierwiastkiem to 1. |1|=1 φ=0 ³√1

	φ+2kπ		φ+2kπ
zk=3√|z|*(cos		+i sin		), k∊{0,1,2}
	3		3

z₀=1*(cos0+i sin 0)=1

	2π		2π		1		√3
z1=1*(cos		+i sin		)=−		+i*		)
	3		3		2		2

	4π		4π		1		√3
z2=1*(cos		+i sin		)=−		−i*		)
	3		3		2		2

II sposób ³√1=z z³=1⇔ z³−1=0⇔z³−1³=0 (z−1)*(z²+z+1)=0 z−1=0 lub (z²+z+1)=0 z₀=1 lub Δ=1−4=−3=3i²

	−1−i√3		−1+i√3
z1=		lub z2=
	2		2

Interpretacja geometryczna liczby zespolonej. Tu poczytaj: http://www.matmana6.pl/tablice_matematyczne/studia/liczby_zespolone/140-definicja_i_interpretacja_geometryczna_liczby_zespolonej

Saizou : Potem może się dowiesz albo nie, że zbiór pierwiastków −tego stopnia z jedynki tworzy grupę

Paweł: Saizou − grupy mieliśmy na kolejnym wykładzie. Przerabiam materiał w kolejności chronologicznej, więc tym zajmę się za dobrą godzinę. Mila − bardziej podoba mi się pierwszy sposób, ale dziękuje za drugi. Może kiedyś wykorzystam Przeglądam materiał, który podlinkowałaś i jednego nie rozumiem. Napisane jest, że chcąc zaznaczyć Z₄ = { z ∊ C: |z − 4 + 6i| < 2 } na płaszczyźnie zespolonej liczymy z − z₀ = z − 4 + 6i = z − (4 − 6i) z czego wynika, że z_o = 4 − 6i. Niby oczywiste.. ale skąd wzięło się z − 4 + 6i? Jeżeli dobrze rozumiem, to standardowo jakbym chciał zaznaczyć liczbę zespoloną na płaszczyźnie to miałbym np. |z|<2, a tu jest jakby dorzucona do odległości |z| zespolona 4 − 6i?

Mila: |z|<2 wnętrze okręgu o środku (0,0). |z−z₀|<2 to jest wnętrze okręgu ośrodku w z₀. Jeżeli środek okręgu to (4,−6) to mamy: z₀=4−6i |z−(4−6i)|=|z−4+6i| stąd: |z−4+6i|<2 jest równoważne : |z−(4−6i)|<2

Paweł: Teraz rozumiem, dziękuje