liczby zespolone student: Bardzo prosiłbym Was o pokazanie mi jak rozwiązać następujące zadania: Zaznaczyć na płaszczyźnie zbiór punktów spełniających warunek a) |z−2|=2|z+3i|

	Z−1
b) Re		< 0
	Z+1

	π
c) 0<arg Z3<
	2

Z góry dzięki

5-latek: Jack teraz ma liczby zespolone . powinien pomoc jesli bedzie na forum

Janek191: a) z = a + b i z − 2 = ( a −2) + b i I z − 2I = √( a −2)² + b² 2 I z + 3 i I = I 2 z + 6 i I = I 2a + 2b i + 6 i I = I 2 a + ( 6 +2 b) i I = = √4 a² + 36 + 24 b + 4 b² więc √ a² − 4 a + 4 + b² = √ 4 a² + 36 + 24 b + 4 b² a² − 4 a + 4 + b² = 4 a² + 36 + 24 b + 4 b² 3 a² + 4 a + 32 + + 24 b + 3 b² = 0 / : 3

	4		32
a2 +		a +		+ 8 b + b2 = 0
	3		3

	2		4		96
( a +		)2 −		+		+ ( b + 4)2 − 16 = 0
	3		9		9

	2		52
( a +		)2 + ( b + 4)2 =
	3		9

Jak się nie pomyliłem, to mamy równanie okręgu.

piotr: ((x−2)² + y²)^1/2 = ((y+3)² + x²)^1/2 ⇒ y=1/6 (−4 x−5) prosta

student: Mam pytanie co do przejścia pomiędzy 2 i 3 linijką. Dlaczego podnosząc wyrażenie (a −2) + b i do kwadratu nie robimy tego tak jak w przypadku liczb rzeczywistych, skoro mnożenie tak rozpisanych liczb zespolonych wykonuje się tak jak w przypadku wyrażeń algebraicznych z liczbami rzeczywistymi?

5-latek:

	z−1
b)		<0
	z+1

(z−1)2
	<0
z2−1

z2−2z+1
	<0
z2−1

z= x+iy

(x+iy)2−2(x+iy)+1
	<0
(x+iy)2−1

	x2+2ixy−y2−2x−2iy+1
		<0
	x2+2ixy−y2−1

	x2−y2−2x+1
		<0
	x2−y2−1

Doszedlem tylko dotad ale juz dalej nie wiem jak

student: Tzn. dzieje się tak dlatego, że obliczamy odległość liczby zespolonej od punktu (0,0), ale dlaczego korzystając z takiej zależności, że √a²=IaI i wykonując po prostu następujące działanie: ((a −2) + b i)*((a −2) + b i) nie otrzymujemy poprawnego wyniku dla Iz − 2I?

piotr:

	z−1
5−latek zapis		<0 dla z∊Z nie ma sensu
	z+1

5-latek : Chociaz teraz tak pomyslaem zeby to b) zrobic tak

z−1
	<0
z+1

x+iy−1
	<0
x+iy+1

x−1
	<0
x+1

1. x−1<0 i x+1>0 lub 2. x−1>0 i x+1<0

5-latek : Piotr ja sie tak za bardzo nie znam jeszcze tak dobrze na tych liczbach Wiem tylko ze nie mozna ich porownywac w senie ktora mniejsza a ktora wieksza Wiec bardzoCie proszse o wyjasnienie .

piotr:

	x−1+iy		x2+y2−1
Re(		) =
	x+1+iy		(x+1)2+y2

5-latek : Juz zapisuje i jutro sobie to przetrawie dziekuje

piotr: najprościej: liczby zespolone można przedstawić jako punkty na płaszczyźnie, więc trudno mówić, który punkt jest "większy" czy "mniejszy" możemy porównywać natomiast ich części rzeczywiste, urojone, moduły, i tzw. argumenty

5-latek : Jeszcze raz dziekuje bo ja sie ucze sam w domu tych liczb Bede jednak obserwowal ten temat .

piotr: x²+y²−1<0 a więc wnętrze koła (0,0) r=1

Mila:

	z−1
Re (		)<0, z+1≠0
	z+1

z=x+iy, x,y∊R

(x−1)+iy		[(x−1)+iy]*[(x+1)−iy]
	=		=
(x+1)+iy		(x+1)2+y2

	(x−1)*(x+1)−i*y*(x−1)+i*y*(x+1)+y2
=		=
	(x+1)2+y2

	(x2−1)+y2−i(y*(x−1)−y*(x+1)]
=
	(x+1)2+y2

x2−1+y2
	<0
(x+1)2+y2

x²+y²−1<0 x²+y²<1

PW: Zadanie c)

	π
0 < argz3 <
	2

− to chyba proste. Jest prawdziwe twierdzenie: Argument iloczynu liczb zespolonych równy jest sumie argumentów. argz³ = 3argz

5-latek : Dobry wieczor Milu Pozdrawiam

5-latek : Dobry wieczor PW Jest takie twierdzenia (przy mnozeniu liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej . . Tylko jak ktos ma cwiczenia to jemu latwiej A argument ilorazu liczb zespolonych jest rowny roznicy argumentow .

PW: Uwaga do 22:09. Rozwiązanie nie jest takie banalne jak mogłoby się wydawać.

Bartek: Mila, wydaje mi się, że jest błąd, bo (x²−1)+y²−i(y*(x−1)−y*(x+1)) ≠ x²−1+y²

PW: Bartek, Re.

Bartek: A no tak, jakoś mi to umknęło, wybaczcie

Mila:

student: PW, co masz na myśli mówiąc "rozwiązanie nie jest takie banalne jak mogłoby się wydawać"? Czy to nie będzie po prostu tak: 0<3argz<π/2 0<argz<π/6 ?

PW: A weź liczbę z = cos121° + isin121°. argz³ = ...

Jack: arg(zⁿ) = n*arg(z) + 2kπ

	π
0 < arg(z3) <
	2

	π
0 < 3arg(z) + 2kπ <
	2

	π
−2kπ < 3arg(z) <		− 2kπ
	2

−2kπ		π		2kπ
	< 3arg(z) <		−
3		6		3

gdzie k ∊ ℤ i k podstawiamy tak by argument nalezal <0;2pi)

Jack: jesli cos zle napisalem to mozecie poprawic ;x

piotr:

π

2π

π

2π

4π

π

4π

c) 0<arg(z)<

∨

<arg(z)<

+

∨

<arg(z)<

+

6

3

6

3

3

6

3