równanie pod podwójnym znakiem pierwiastka ania: Bardzo proszę o pomoc, jak rozwiązać takie równanie: a) √x−1+ √x+2 =3 Podnosząc dwukrotnie do kwadratu wychodzą wyniki x=7 i x=14, w odpowiedziach jest jednak tylko x=7 jak założyć dziedzinę aby 14 wyrzucić, czy może te zadania robi się w inny sposób

Janek191: Założenia i podnieś obustronnie do potęgi 2.

Janek191: Liczba 14 nie spełnia tego równania.

jc: Możesz przekształca równoważnie równanie pamiętając o założeniach (uciążliwa metoda). Możesz pisać implikacje (tak zrobiłaś), ale na koniec musisz sprawdzić, które x faktycznie spełnia równanie (metoda działa, jak zbiór wyników jest do opanowania). Sprawdzasz 7 i 14, pozostaje 7 i się cieszysz, że masz rozwiązanie.

ania: jeżeli wstawiam 14 to widzę, że nie spełnia, ale jakie napisać założenie przed rozwiązaniem, jak założyć dziedzinę aby wykluczyć od razu 14?

jc: Nie zobaczysz od razu, że 14 nie jest rozwiązaniem (zakładam, że nie popełniłaś błędów rachunkowych). Dlaczego chciałabyś od razu wiedzieć? W równaniach, w których trzeba coś zakładać, a po drodze pojawiają się nowe założenia, wybieramy drugą metodę (implikacje, na koniec sprawdzenie), zwaną metodą analizy starożytnych. −−−−−− √x−1+√x+2=3 ⇔ x−1+√x+2 = 9 ⇔ √x+2 = 10−x ⇔ x+2 = x²−20x+100 i x≤10 ⇔ x² −21x+98=0 i x ≤ 10 ⇔ (x=7 lub x= 14) i x ≤ 10 ⇔ x = 7 Metoda analizy starożytnych √x−1+√x+2=3 ⇒ x−1+√x+2 = 9 ⇒ √x+2 = 10−x ⇒ x+2 = x²−20x+100 ⇒ x² −21x+98=0 ⇒ x=7 lub x= 14 Sprawdzamy, zostaje 7. W tym zadaniu chyba jednak pierwsza metoda jest prostsza. Na ogół lepsza jest druga metoda.

Leszek: Takie rownania mozna rozwiazywac przez podstawienie pomocniczej zmiennej X+2=t² t≥0 i x≥−2 x=t²−2 Czyli √t² +t −3 =3 t²+t −12 =0 t₁ =−4 nie nalezy do dziedziny dla t t₂ =3 √x+2=3,⇒ x= 7

ania: x=7 tak?

5-latek: Dobre