dowód z macierzą Blasco: Hej, mam takie zadanko z Algebry Liniowej i nie mam zielonego pojęcia jak je ugryźć, gdyż mój zestaw narzędzi związany z macierzami jest stosunkowo ubogi... Czy ktoś mógłby jakoś naprowadzić mnie na udowodnienie tego? Dany jest układ równań liniowych postaci: ⎧ a11x1+a12x2++a1nxn=b1 ⎨ ... ⎩ am1x1+am2x2++amnxn=bm Załóżmy, że macierz współczynników (a więc macierz o m wierszach i n kolumnach powstała poprzez usunięcie kolumny wyrazów wolnych b1,...,bm z macierzy opisującej ten układ równań) tego układu ma 2 identyczne kolumny. Wykaż, że układ ten jest albo sprzeczny, albo ma nieskończenie wiele rozwiązań.

wmboczek: Przypuśćmy, że ma 1 rozw m=n=rz(A) ale rz(A)=n−1 bo są 2 kolumny (operacje elementarne wyzerują) co prowadzi do sprzeczności

jc: To nie jest trudne. Napisz sobie przykład 4x4, przyjmując, że trzecia kolumna równa jet czwartej. Jeśli niewiadomymi są litery x,y,z,u, to z i u będą zawsze w parze w=z+u. Faktycznie mamy więc układ 4 równań z 3 niewiadomymi x,y,w. Jeśli taki układ ma jakieś rozwiązanie, to ma nieskończenie wiele rozwiązań. W możesz przecież na nieskończenie wiele sposobów przedstawić w postaci sumy w = z+u.

Blasco: Nie mięliśmy na zajęciach żadnych rzędów ani nawet minorów. Jeślibym chciał to uwzględniać w pracy, to musiałbym dokladnie to wyjaśnić, a szczerze to wątpie żebym potrafił... nie ma innej opcji?

jc: Przeczytaj, co na pisałem. To na prawdę jet proste.

jc: Akurat to z rzędami nie jest jest prawdą.

Blasco: A to mogę w zadaniu napisać przykład, że 4x4 skoro mam nxm?

Blasco: Poza tym nie za bardzo rozumiem o czym mówisz w momencie, że w=z+u bo z i u będą w parze

jc: Jak napiszesz przykład, to zrozumiesz w czym rzecz. Napiszę mniejszy przykład. 3 x + 3 y + 5z = 14 4 x + 4 y + 7z = 19 Podstawiasz u=x+y. Otrzymujesz układ równań 3u+5z=14 4u+7z=19 Gdyby układ nie miał rozwiązań, to oryginalny układ też by nie miał. Ten układ akurat ma. u=3, z=1. Rozwiązania oryginalnego układu otrzymasz biorąc x+y=3 (co możesz zrobić na ∞ wiele sposobów, (x,y)=(3,0),(2,1),(1,2),(0,3), ....) oraz z=1. Zapisanie ogólnego dowodu wymaga trochę miejsca i pracy, którą sam możesz wykonać.

Blasco: Ale to jakąś indukcją mam zrobić?

jc: Żadna indukcja. Dowód. Załóżmy, że układ równań ma rozwiązanie. Jeśli kolumny i, j są równe, i≠j, oraz x₁, x₂, ..., x_n są rozwiązaniami, to dla każdego t x₁, x₂, ... , x_i−t, ..., x_j+t, ...x_n są rozwiązaniami, a więc mamy nieskończenie wiele rozwiązań. KONIEC