Metryka student: 1) Niech (X,d)−przestrzeń metryczna a φ: [0, ∞ ) → [0, ∞) −funkcja o własnościach: i) φ jest malejąca ii) φ(x)=0 ⇔ x=0 iii) φ(x+y) ≤ φ(x) + φ(y), dla x,y∊ [0,∞ ) Dla x,y ∊X definiujemy: d_φ (x,y)= φ(d(x,y)) 2) Sprawdź, że funkcje: φ(x)=kx (k>0), φ(x)= √x ,φ(x)=^x_1+x mają własności i) − iii)

math_love: Dla φ(x)=kx (k>0): i) bierzemy x₁<x₂ i badamy znak f(x₁)−f(x₂). f(x₁)−f(x₂)=kx₁−kx₂=k(x₁−x₂)<0, bo k>0, x₁−x₂<0, bo założyliśmy, że x₁<x₂, czyli funkcja jest rosnąca, zatem i) nie zachodzi ii) "→" φ(x)=0 to kx=0 to x=0, bo k>0 "←" x=0 to kx=0, zatem iI) zachodzi iii) φ(x+y)=k(x+y)=kx+ky=φ(x) + φ(y) , zatem iii) zachodzi Pozostałe podobnie.

student: w i) powinno być niemalejąca