Rozwiąż nierówność logarytmiczną xazez: Witam. Mógłby ktoś sprawdzić czy to zadanie jest rozwiązane poprawnie, a jeśli nie to podpowiedzieć gdzie znajduje się bład ? Rozwiąż nierówność :

	x−1		x+1
log2(log3		)<log12(log13		)
	x+1		x−1

	x+1
Zał 1). log13		>0
	x−1

Z tego wychodzi :

2
	<0
x−1

x∊(−∞;1)

	x−1
Zał 2). log3		>0
	x+1

Z tego wychodzi :

−2
	>0
x+1

x∊(−∞;−1) I teraz nierówność :

	x−1		x+1
log2(log3		)<log12(log13		)
	x+1		x−1

Więc :

	x−1		log2(log13x+1x−1)
log2(log3		)<		//zamiana prawej
	x+1		log212

strony na logarytm o podstawie 2

	x−1		log2(log13x+1x−1)
log2(log3		)<		/// zauważenie, że mianownik =
	x+1		−1

−1

	x−1
log2(log3		)<−log2(log13x+1x−1) ///podzielenie przez −1 prawej strony
	x+1

	x−1
log2(log3		)<log2−1(log13x+1x−1) ///wrzucenie −1 jako potęgę
	x+1

podstawy logarytmu Otrzymałem :

	x−1		x+1
log3		<log3
	x+1		x−1

Przyrównuję liczby logarytmowane :

x−1		x+1
	<
x+1		x−1

Po przerzuceniu prawej strony na lewą oraz sprowadzeniu do wspólnego mianownika :

−4x
	<0
x2−1

Dzieląc na −4 : x>0 I wychodzi brak rozwiązań. Czy wszystko zrobiłem poprawnie ?

xazez: Mógłby ktoś to dla mnie sprawdzić ? Dziękuję z góry.

xazez:

Adamm:

	x−1		x+1
log3		<log3
	x+1		x−1

coś jest nie tak

Adamm:

	x−1		1		1
log3		<		=
	x+1		x+1   log1/3   x−1		x−1   log3   x+1

	x−1		x−1
log33		<log3
	x+1		x+1

Mila: Sprawdzam.

	x−1
1)		>0⇔
	x+1

x<−1 lub x>1 Twój (1) trzeba poprawić x<−1 (2) dobrze. reszta za chwilę.

xazez: Już poprawiłem założenia. Teraz mam jeden problem. Co zrobić z czymś takim :

	x−1
L=log2(log3		)
	x+1

	x+1   log2(log13 )   x−1
P=
	log212

L<P Zapisałem w takiej postaci bo jest trochę czytelniej. Jak mogę tę nierówność dokończyć ? Chodzi mi o to jak sprowadzić prawą stronę do logarytmu o tej samej podstawie co lewa strona.

Adamm:

x+1   log2(log1/3 )   x−1		x+1
	= log2(log1/3		)−1
−1		x−1

Adamm: c*log_ab=log_ab^c

xazez: Do tego doszedłem. Ale co dalej ? Bo zostanie mi ciągle po przyrównaniu logarytmów :

	x−1		x+1
log3		< (log13		)−1
	x+1		x−1

Adamm: napisałem 21:05

	x−1
dalej wystarczy podstawienie t=log3
	x+1

xazez: A po prawej stronie co w tedy otrzymam ?

	1
Bo po lewej zostanie samo t. Po prawej będzie		?
	t

Mila: Dla sprawności obliczeń:

	x+1		x+1   log3   x−1		x−1
log1/3		=		=log3		i (x<−1)
	x−1		log3(1/3)		x+1

mamy nierówność:

	x−1		x−1
log2(log3		)<−log2 (log3		)
	x+1		x+1

	x−1
(log3		)=t i t>0 ( z założenia)
	x+1

log₂t <−log₂t⇔ log₂ t<log₂ t⁻¹⇔

	1
t<
	t

	1
t−		<0
	t

t2−1
	<0
t

(t−1)*(t+1)*t<0 t<−1 (nie odp. zał. ) lub t∊(0,1) t>0 i t<1

	x−1		x−1
[(log3		)>0 ] i [(log3		)<1]
	x+1		x+1

	x−1		x−1
[x<−1] i		<3⇔		−3<0
	x+1		x+1

	x−1−3x−3
		<0
	x+1

	−2x−4
		<0⇔2*(x+2)(x+1)>0
	x+1

[x<−1] i (x<−2 lub x>−1] x<−2 ===

xazez: Dziękuję bardzo. To −1 w potędze wyrażenia sprawiło mi najwięcej trudności. Teraz już to widzę. Dziękuję bardzo.

Mila:

xazez: A mam jeszcze jedno zadanie. Jak zabrać się za coś takiego : log _|x−1|y<log_y|x−1|

Adamm: Z: |x−1|≠1, y>0, y≠1 x≠2 ∧ x≠0

logy
	<log|x−1|}{logy}
log|x−1|

log³ylog|x−1|<log³|x−1|logy logylog|x−1|(log|x−1|−logy)(logy+log|x−1|)>0 1. logy>0 ... 2. logy<0 ... 3. logy=0 ...

xazez: Rozumiem, że po lewej stronie są to logarytmy sprowadzone do podstawy 10 ? A po prawej stronie ?

Adamm: też jeśli chodzi o podpunkty, potraktuj log|x−1| jako zmienną wielomianu

xazez: Ile takich podpunktów będzie ?

Adamm: 3

xazez: Dzięki wielkie.

xazez: A jeszcze pytanie teoretyczne, jeżeli mam :

a		c
	>
b		d

to mogę wymnożyć to "na skos", aby powstało : a*d>b*c Czy coś takiego jest możliwe ? Czy muszę przenosić prawą stronę na lewą i sprwadzać do wspólnego mianownika ? Chodzi o Twój 1wszy zapis.Załóżmy, że chciałbym to sprowadzić do wspólnego mianownika bądź "wymnożyć na skos". Jest taka możliwość ?

Adamm: jeśli wyrazy są dodatnie, jeśli są ujemne to zmieniasz znak, jeśli nie wiesz to mnożysz razy potęgi

a		c
	>		\*b2d2
b		d

abd²>cdb² bd(ad−cb)>0

xazez: Dzięki jeszcze raz za pomoc.