Zbadać monotoniczność ciągu rekurencyjnego gsrmeen: Zbadać monotoniczność ciągu: d₁=√6 d_n+1=√6+d_n , n≥1 Będę wdzięczny za wskazówki.

jc: Przyjmijmy d₀ = 0. Wtedy d₁=√6+d₀=√6. d₀ < d₁. Wszystkie wyrazy ciągu są nieujemne. Załóżmy teraz, że d_n−1 < d_n. Wtedy 6 + d_n−1 < 6 + d__n √6 + d_n−1 < √6 + d__n czyli d_n < d_n+1. Wniosek. ciąg d_n jest ciągiem rosnącym.

gsrmeen: Chyba nie rozumiem, dlaczego takie założenie, że d_n−1<d_n? Przekształcenia rozumiem, ale nie możemy sobie od razu założyć, że ciąg jest jakiś (rosnący czy malejący)

jc: To jest dowód indukcyjny. Pierwszy krok, początek: d₀ < d₁. Drugi krok, implikacja: d_n−1 < d_n ⇒d_n < d_n+1 Trzeci krok, wniosek: d_n−1 < d_n.

jc: Możesz najpierw pokazać, że d_n < 3. Wtedy d_n² < 6 + d_n, co jest równoważne nierówności (3−d_n)(2+d_n) > 0. Ale jak to pokazać? Najprościej indukcyjnie: d₀ = 0 < 3. d_n < 3 ⇒ 6+ d_n < 9 ⇒ d_n+1 = √6+d_n < 3.

gsrmeen: Ok, brakowało mi tego, że to dowód indukcyjny. Dziękuję bardzo za odpowiedź, była niezmiernie przydatna