Całka Studentka: Jak obliczyc całkę ∫cos²xsin²xdx

Jerzy: Np tak: = ∫(1 − sin²x)sin²xdx = ∫1dx − ∫sin⁴xdx

relaa:

	1		1		1
Ewentualnie cos2(x)sin2(x) =		sin2(2x) =		−		cos(4x).
	4		8		8

jc: (cos x sin x)² = (sin 2x)² /4 = (1− cos 4x)/8 ∫ (1− cos 4x)/8 dx = x/8 − (sin 4x)/32

piotr1973:

	1		1
cos2xsin2x =		sin22x=		(1−cox4x)
	4		8

Studentka: Dzięki

Mariusz: Jedynka trygonometryczna i wzór redukcyjny na ∫cosⁿ(x)dx lub ∫sinⁿ(x)dx Wzór redukcyjny wyprowadzisz całkując przez części i korzystając z jedynki trygonometrycznej ∫cos(x)*cosⁿ(x)dx=sin(x)cosⁿ⁻¹(x)−∫(sin(x))(n−1)cosⁿ⁻²(x)(−sin(x))dx ∫cosⁿ(x)dx=sin(x)cosⁿ⁻¹(x)+(n−1)∫cosⁿ⁻²(x)sin²(x)dx ∫cosⁿ(x)dx=sin(x)cosⁿ⁻¹(x)+(n−1)∫cosⁿ⁻²(x)(1−cos²(x))dx ∫cosⁿ(x)dx=sin(x)cosⁿ⁻¹(x)+(n−1)∫cosⁿ⁻²(x)dx−(n−1)∫cosⁿ(x)dx n∫cosⁿ(x)dx=sin(x)cosⁿ⁻¹(x)+(n−1)∫cosⁿ⁻²(x)dx

	1		n−1
∫cosn(x)dx=		sin(x)cosn−1(x)+		∫cosn−2(x)dx
	n		n

	1		n−1
In=		sin(x)cosn−1(x)+		In−2
	n		n

I₁=sin(x)+C I₀=x+C

Mariusz: Jerzy nie wymnożyłeś dobrze

Jerzy: Faktycznie ... dziękuję = ∫sin²xdx − ∫sin⁴xdx

Mariusz: Teraz jest dobrze , wg mnie lepiej jest skorzystać z wzoru redukcyjnego Wyprowadziłem wzór redukcyjny na ∫cosⁿ(x)dx ale jeśli chcemy mieć wzór na sinus to wystarczy z wzorów redukcyjnych (tych sprowadzających kąt do pierwszej ćwiartki) skorzystać Otrzymamy wtedy że we wzorze na ∫cosⁿ(x)dx wystarczy zmienić cosinus na sinus a sinus na cosinus oraz w scałkowanej części zmienić znak

	π
∫sinn(x)dx=∫cosn(		−x)dx
	2

	π
t=		−x
	2

dt=−dx −∫cosⁿ(t)dt Wzór redukcyjny na ∫cosⁿ(x)dx wyprowadziłem w poprzednim wpisie