FUNKCJE Muniek:

	π
arctgx + arctg2x =
	4

Mila: Polecenie?

Leszek: Skorzystaj ze wzoru

	x+y
arctgx + arctgy =		dla xy<1
	1−xy

Muniek: Rozwiąż równanie

Muniek: nie znam takich wzorów ;−;

Leszek: Ale powinienes znac wzory

	tg α + tg β
tg α + tg β =
	1− tg α * tg β

i na ich podstawie wyprowadz sobie podany wzor

Muniek: Chyba wyszło mi coś bez sensu

	12−2π√38
x=
	−4

	12+2π√38
x=
	−4

Leszek: Sorry pisze na kolanie w podrozy uzywajac komorki i nie wszystko mi

	x+y
wchodzi prawidlowo ,w podanym wzorze przed wyrazeniem
	1−xy

powinienem napisac arctg Czyli

	x+y
arctgx + arctgy = arctg
	1−xy

Muniek: już wiem co zrobiłem źle ale wynik nadal dziwny mi wychodzi

	3−√17
x1=
	−4

	3+√17
x2=
	−4

Leszek: Powinienes otrzymac rownanie

3x
	=1 i −√2/2 < x < √2/2
1−2x2

Leszek: Wynik jest dobry

Muniek:

x+2x
	= 1
1−2x2

wydaje mi się, że dobrze może po prostu wynik dość sepcyficzny wychodzi Dzięki w każdym razie

Muniek: dzięki jeszcze raz

jc: Pierwszy pierwiastek o.k. Drugi daje −3π/4 zamiast π/4.

Muniek: skąd takie coś?

Mila:

	π
arctgx+arctg(2x)=
	4

	π		π
arctgx=α gdzie : −		<α<
	2		2

	π		π
arctg2x=β gdzie : −		<β<
	2		2

	π
tg[arctgx+arctg(2x)]=tg(		)⇔
	4

	π
tg(α+β)=1 , α+β=
	4

Korzystam z wzoru na tg(α+β)

tgα+tgβ
	=1
1−tgα*tgβ

tgα+tgβ=1−tgα*tgβ wracamy do podstawienia tg[arctgx]+tg[arctg(2x)]=1−tg[arctgx]*tg[arctg(2x)] dla kątów z podanych przedziałów mamy : x+2x=1−x*2x 2x²+3x−1=0 y=arctgx+arctg(2x) funkcja rosnąca , zatem będzie jedno rozwiązanie (dodatnie)

jc: funkcja x → atan x + atan 2x jest funkcją rosnącą, nie możesz dostać dwa razy π/4

Leszek: −√2/2 < x < √2/2 wiec jedno rozwiazanie nie spelnia tego warunku i trzeba odrzucic

Muniek: Nie mam pojęcia co to jest atan i nie miałem tego na zajęciach i zaczynam poważnie bać się studiów. Dzięki za pełne wyjaśnienie

Leszek:

	3−√17
Zostaje rozwiazanie x1 =
	−4

yht: atan to jest inaczej arctg

Muniek: powiem szczerze, że nadal nie rozumiem dlaczego mam odrzucić to jedno rozwiązanie przecież dziedzina dla arctg to liczby rzeczywiste

Mila: f(x)=arctg(x)+arctg(2x) , −π<y<π y=pi/4

5-latek: Wypozycz sobie Antonow i inni Zbior zadan z matematyki elementarnej tam masz podobne zadania nr 922,923 z rozwiazaniami .

Mila: To zapisz tu 5−latku, jaki jest komentarz do takiego zadania, aby lepiej zrozumiał Muniek. Może być jutro. Dobranoc

5-latek: [C[Milu] Rownania sa takie nr 922

	π
arctg(x+2)−arctg(x+1)=
	4

nr 923

	1		π
2arctg		−arctg(x)=
	2		4

Do nr 922 Biorac tangensy obu stron rownania i uwzgledniajac ze tg(arctgα)=α otrzymujemy U{(x+2)−(x+1)}{1+(x+2)(x+1)=1 stad ₁= −1 x₂=−2 Sprawdzamy czy te pierwiastki spelniajadane rownanie jesli x=−1 to

	π
arctg(x+2)= arctg1=
	2

i acrtg(x+1)= arctg0=0 Wiec ten pierwiastek spelnia dane rownanie W ten sam sposob sprawdzamy ze i drugi pierwiastek jest sluszny Odp. x=−1 x=−2 nr 923 Bierzemy tangensy obu stron rownia Przed tym zanjdujemy (patrz porzednie zadanie

	1		2*0,5		4
tg(2arctg		)=		}=
	2		1−(0,5)2		3

i wtedy otrzymujemy

43−x
	=1
1+4x3

Pierwiastkiem tego rownania jest x=U{1}[7} Nalezy go sprawdzic patrz uwaga do poprzedniego zadania .

	1		1
POdstawiajac x=		do lewej strony rownania otrzymamy 2arctg		−−arctgU{1}[7}
	7		2

	1		π
Kąt α= arctg		jest zawrty w przedziale 0 i		(poniewaz tgα= U{1}[2} <1
	2		4

	1
W tym samym przedziale lezy kąt β arctg
	7

	π		π
Kąt 2α lezy w 1 cwiartce a kąt 2α−β lezy miedzy −		−
	4		2

	π
Ale tg(2α−β)=1 wiec 2α−β= πn+
	4

Lecz tylko dla n=0 kąt 2α−β lezy wewnatrz znalezionego wyzej przedzialu Zatem dane rownanie bedzie spelnione przez x=U{1}[7} Ale to chyba nie o to chodzilo ,no ale skoro sie zobowiazlem to napisalem

5-latek: Dobranoc Milu