zespolona Paweł: Korzystając ze wzoru de Moivre'a obliczyć podane potęgi liczb zespolonych a) (1 + i)¹⁰ Liczę tak: z = 1 + i |z| = √2

	1		√2		π
cosβ = sin β =		=		=
	√2		2		4

	π		π		10π		10π
z10 = |z|10(cos		+ isin		)10 = |z|10(cos		+ isin		) =
	4		4		4		4

	5π		5π
= |z|10(cos		+ isin		)
	2		2

i dalej nie wiem co zrobić.. Odpowiedź to 32i

Paweł: Jedynie jeszcze |z|¹⁰ = (√2)¹⁰ = 32

5-latek: cos2,5π= 0 sin2,5π= 1 √2¹⁰= 32

Paweł: Więc w tym momencie zamienia się już jedynie na wartości? = 32(0 + i) = 32i?

Janek191: (1 + i)¹⁰ = [(1 + i)²]⁵ = (2 i)⁵ = 32 i

5-latek: Tak . Masz ja teraz zapisana w postaci kartezjanskiej (algebraicznej

Paweł: Dzięki 5−latku, ale co w przypadku, gdy nie będę miał "ładnej" wartości dla sin/cos? Janek − przyjemny sposób, dzięki. Jak rozumiem (1+i)² zamieniłeś na 2i ze zwykłego mnożenia liczb zespolonych (1 + i)(1 + i) = 1 + 1i + 1i + i² = 1 + 2i − 1 = 2i ?

5-latek: To ja tak zostaw

Janek191: Tak

Paweł: Super, dzięki Pytanie jeszcze tylko o potęgowanie liczby urojonej. Wiem, że i² = −1, ale tutaj podnosimy ją do 5. Co się wtedy dzieje?

Janek191: i⁵ = i²*i²*i = −1*(−1) i = i

Paweł: ehh o co ja pytałem dzięki

Paweł: b) (√3 − i)⁶⁰ z = √3 − i |z| = 2

	√3		1
z60 = 260(		− i		)
	260		260

Niestety nie mam pomysłu jak dalej liczyć.. Odpowiedź to 2⁶⁰

5-latek: Proponuje polozyc sie spac Jutro jeszcze raz spojrz na wzor i wroc do zadania .

Paweł: No to wrócę do tego jutro. Do miłego

Janek191: (√3 − i )⁶⁰ z = √3 − i I zI = 2

	√3
cos α =		sin α = −U{1}[2}
	2

więc

	π		11π
α = 2π −		=
	6		6

zatem

	11π		11π
z = 2*( cos		+ i sin		)
	6		6

oraz

	11π
z60 = 260*( cos {60*		) + i sin( 60*U{11π}{6])) =
	6

= 2⁶⁰*( cos 110π + i sin 110 π ) = 2⁶⁰*( cos 0 + i sin 0) = 2⁶⁰ *1 = 2⁶⁰

5-latek:

Paweł: Dzięki za rozwiązanie zadania, ale mam do niego 2 pytania:

	√3		π		π
1) dlaczego		zamieniłeś na 2π−		, a nie
	2		6		6

2) zamieniając cos110π na cos0 odejmujemy wielokrotności 2π stopni, tj. 110π=55*2π = 55*0=0?