pogotownie całkowe Ola: ∫√4t²+1

ICSP: = √4t² + 1x + C

zef: W sumie wynik ICSP jest dobry Ola pisz całkowanie po jakiej zmiennej.

Mariusz: Jeśli po t to proponuję podstawienie √4t²+1=u−2t

Mariusz: √4t²+1=u−2t 4t²+1=u²−4ut+4t² 1=u²−4ut u²−1=4ut

	u2−1
t=
	4u

	2u 4u − 4(u2−1)
dt=		du
	16u2

	u2+1
dt=		du
	4u2

	4u2−2u2+2		u2+1
√4t2+1=u−2t=		=
	4u		2u

	u2+1	u2+1
∫			du=
	2u	4u2

1		(u2+1)2
	∫		du
8		u3

1		du		du
	(∫udu+∫		+2∫		)
8		u3		u

1		u2		1
	(		−		+2ln|u|)+C
8		2		2u2

1		u4−1
	(		+ln|u|)+C
4		4u2

1		u2−1	u2+1
	(2			+ln|u|)+C
4		4u	2u

	1
=		(2t√4t2+1+ln|2t+√4t2+1|)+C
	4

Mariusz: Gdybyśmy mieli całkę ∫√1−4t²dt to wtedy lepiej całkować przez części ponieważ gdybyśmy koniecznie chcieli sprowadzać tę całkę do całki z funkcji wymiernej podstawieniem

	du
√1−4t2=(1−2t)u to musiałabyś skorzystać z wzoru redukcyjnego na całkę ∫
	(1+u2)n

Jeżeli masz całki postaci ∫R(x,√ax²+bx+c)dx gdzie R(x,y) jest funkcją wymierną dwóch zmiennych to aby je sprowadzić do całek z funkcji wymiernych stosujesz podstawienia Gdy a>0 √ax²+bx+c=t−√ax Wyznaczasz z tej równości x a następnie różniczkujesz stronami Mając wyznaczony x łatwo wyznaczysz też pierwiastek (wyznaczysz − uzależnisz od t) Gdy a<0 Tutaj możesz założyć że b²−4ac>0 inaczej trójmian kwadratowy pod pierwiastkiem przyjmowałby tylko wartości ujemne Zapisujesz trójmian pod pierwiastkiem w postaci iloczynowej i stosujesz podstawienie √a(x−x₁)(x−x₂)=(x−x₁)t a następnie postępujesz analogicznie jak w przypadku gdy a>0