Wyznaczyć kres górny zbioru A: Dzidziuś Górkiewicz:

	x2y
A={		: x,y ≥0}.
	x4 + 2y2 + 3

Proszę o podpowiedzi, z której strony to ugryźć. Przez średnie arytmetyczną i geometryczną

	√2
raczej to nie pójdzie. Program pokazał mi, że kres wynosi		(∉A), ale nie mam pojęcia
	4

skąd to wziąć.

Adamm:

	x2y
f(x, y) =
	x4+2y2+3

	−2xy(x4−2y3−3)
fx=
	(x4+2y3+3)2

	x2(x4−2y3+3)
fy=
	(x4+2y3+3)2

f_x=0 ⇔ −2xy(x⁴−2y³−3)=0 ⇔ x=0 lub y=0 lub x⁴−2y³−3=0 f_y=0 ⇔ x²(x⁴−2y³+3)=0 ⇔ x=0 lub x⁴−2y³+3=0 szukamy takich x, y że f_y=0 oraz f_x=0 dla x=0 mamy punkty (0; y) dla y=0 mamy x=0

	3
dla x=0 mamy y=−3√
	2

zostało kiedy x⁴−2y³+3=0 oraz x⁴−2y³−3=0 czyli −2y³+3=−2y³−3, równanie sprzeczne punkty podejrzane o ekstremum to (0 ; y) oczywiście ekstremum takiego może nie być, poszukaj jakiś ograniczeń funkcji

Saizou : Am≥Gm

x4+2y2+3
	≥√x4·2y2·3=√6x2y
3

√6		1		x2y
	=		≥
18		3√6		x4+2y2+3

Adamm: coś mi z tymi ekstremum nie wyszło

Saizou : czekaj... coś poknociłem, tam powinno być ³√ więc tak nie będzie

Dzidziuś Górkiewicz: To jest zadanie z pierwszego roku analizy, więc raczej nie chodzi o pochodne cząstkowe. Czyli jednak da się zrobić AM≥GM, dziękuję.

Dzidziuś Górkiewicz: Ech, no właśnie, też teraz zauważyłem. Ale może faktycznie rozpatrywać osobno licznik i mianownik.

Adamm:

x2y
	zamiast x2 weźmy x, to nie zmieni nic jako że x≥0
x4+2y2+3

xy
	<a
x2+2y2+3

xy<ax²+2ay²+3a 0<ax²−xy+2ay²+3a szukamy takiego najmniejszego a dla którego nierówność zawsze jest prawdziwa, oczywiście a>0 Δ=y²−8a²y²−12a²<0 a²(−8y²−12)<−y²

	y2
a2>
	8y2+12

teraz trzeba by jakoś zoptymalizować funkcję po prawej

Adamm: funkcja po prawej inaczej ma postać

1		3		1
	−		tak więc kres górny tej funkcji to
8		8(2y2+3)		8

stąd szukamy takiego a² że

	1
a2>
	8

	1		√2
a>		=
	2√2		4

Adamm: raczej powinno być napisane

1		1		3
	>		−
8		8		8(2y2+3)

	1		1		√2
więc a2≥		, jako że szukamy najmniejszego a to a2=		⇒ a=
	8		8		4

ICSP: InfA = 0 Ograniczenie górne: (BSO zakładamy, ze zarówno x jak i y są dodatnie)

x2y		x4 + 2y2
	≤		=
x4 + 2y2 + 3		2√2(x4 + 2y2 + 3

	1
	3   2√2(1 + )   x4 + 2y2

	3
Jeżeli ustalimy y > 0 to idąc z x to nieskończoności dostaniemy		→ 0, więc
	x4 + 2y2

	1		√2
kres górny jest równy		=		i oczywiście nie należy on do A
	2√2(1 + 0)		4

Dzidziuś Górkiewicz: OK, rozumiem że można wymyślić to oszacowanie z x⁴ + 2y² w liczniku, ale jak wymyślić wstawienie 2√2 do mianownika nie znając od początku pożądanego wyniku?

ICSP: AM ≥ GM dla liczb x⁴ i 2y²

Dzidziuś Górkiewicz: OK, teraz już widzę. Dziękuję wszystkim za pomoc.