ciągi Aga: Jak wyznaczyć największą liczbę a i najmniejszą liczbę b, dla których każdy wyraz a_n ciągu spełnia warunek a ≤ a_n ≤ b dla:

	2−n
1) an =
	n

	2n−3
2) an =
	4(n+1)

	(−1)n+1 + n
3) an =
	n+2

Adamm: czy zaczynamy od a₀ czy a₁

Aga: Wydaje mi się,że a₁, przecież nie ma zerowego wyrazu ciągu

Aga: ok, to najmniejszą wartość już wiem a co z wartością b ?

Aga: hmm.. ad 1) b=1 ad 2) a= −7/2 ad 3) a= −1/8

Adamm: no nie wiem, ale załóżmy że a₁ 1) ciąg jest malejący (czemu?) zatem największą wartość przyjmuje dla a₁=1 a najmniejszą dla lim a_n = −1 2) ciąg jest rosnący (czemu?)

	−1
zatem najmniejsza wartość to a1=
	8

	1
a największa lim an =
	2

Adamm:

	n−1		n+1
3)		≤an≤
	n+2		n+2

ciąg po lewej rośnie, po prawej maleje

n−1
	=an dla n=2k
n+2

n+1
	=an dla n=2k−1
n+2

	1
najmniejsza wartość to najmniejszy n parzysty czyli a2=
	4

	2
a największa to najmniejszy nieparzysty czyli a1=
	3

Aga: w odpowiedzi w 3) przypadku a=1/4, czyli się zgadza, ale b=1 a nie 2/3

Adamm:

(−1)n+1+n
	=1
n+2

(−1)ⁿ⁺¹+n=n+2 (−1)ⁿ⁺¹=2 ale (−1)ⁿ⁺¹ jest równe 1 lub −1 zatem a_n nie może równać się 1

Aga: ja tylko mówię co jest w odpowiedziach

Aga: jest też wskazówka,żeby rozpatrzyć dwa podciągi o numerach parzystych i nieparzystych

Adamm: wiem czemu, ciąg po prawej też rośnie dlatego granica jest największą wartością czyli 1

Adamm:

	n+1
jeszcze uwaga, zaznacz że		<1
	n+2

Adamm: nie wiem czemu myślałem że maleje

Adamm: lub po prostu że a_n<1

Aga: Czyli jeśli jest rosnący, to najmniejszą wartość liczę podstawiając za n=1, a największą licząc granicę ? W przypadku gdy jest malejący, to największą wartość obliczam podstawiając za n=1, a najmniejsza to granica? Tak ? Dobrze zrozumiałam ?

Adamm: tak ale, nie zrozum mnie źle, w 3) to nie ciąg a_n jest rosnący, tylko jego podciąg a_2n−1

Aga: tak, tak, zauważyłam i chyba już wiem o co chodzi Dzięki Zaraz sprawdzę na innych zadaniach, czy mi dobrze będzie wychodzić