Granice ciągów - jak to zrobić? pshq: Czy mógłbym prosić o wytłumaczenie kilku granic ciągów? Zadania są z książki pp. Krysickiego i Włodarskiego:

	3		10		(−1)n
2.24.		−		2.25.
	n		√n		2n−1

	√n−2		(−0,8)n
2.29.		2.31.
	3n+5		2n−5

Nie radzę sobie z tymi przykładami, jak je ugryźć? Proszę o pomoc.

Jack: 2.24.

	3		10
lim		−		= 0 − 0 = 0
	n		√n

n−>∞

Jack: 2.25. zauwaz ze w liczniku dla n parzystych bedzie 1, dla n nieparzystych bedzie − 1

	1
zatem nasza granica to		a to sie rowna 0
	∞

	(−1)n
lim		= 0
	2n−1

n−>∞

U:

	±1
Jack ... zatem nasza granica to		powinno być .
	∞

Adamm: wszystkie ciągi dążą do ∞, będę pisał bez tego 2.24

	3		10		3		10
lim(		−		)=[		−		] = 0−0 = 0
	n		√n		∞		∞

2.25

−1		(−1)n		1
	≤		≤
2n−1		2n−1		2n−1

	−1		1
lim		= lim		= 0
	2n−1		2n−1

	(−1)n
na mocy tw. o 3 ciągach lim		= 0
	2n−1

2.29

	√n−2		2   1−   √n		1−0
lim		= lim		= [		] = 0
	3n+5		5   3√n+   √n		∞+0

2.31 −(0,8)ⁿ≤(−0,8)ⁿ≤(0,8)ⁿ lim −(0,8)ⁿ = lim (0,8)ⁿ = 0 na mocy tw. o 3 ciągach lim (−0,8)ⁿ = 0

	1
lim		= 0
	2n−5

	(−0,8)n		1
lim		= (lim		)*(lim (−0,8)n) = 0*0 = 0
	2n−5		2n−5

pshq: 2.25. Czyli w liczniku wychodzi 1? Bo to, że w mianowniku jest zero, to jeszcze pojmuję, ale licznika nie mogę. W sumie to nie gra dużej roli, ale chciałbym wiedzieć dlaczego tak jest.

pshq: @Jack − teraz rozumiem

Jack: U tak tak, chochlik sie wkradl

Ajtek: Ten U to ja, mi też się wkradł chochlik w niku .

pshq: To zawsze trzeba, gdy jest "cośⁿ" robić tw. o 3 ciągach?

Adamm: zauważ że "coś" jest ujemne

Jack: pshq, przyklad 2.25 mozna ale chyba nie trzeba (chociaz nie jestem pewien) w zad 2.31 to mozna zauwazyc ze ulamek wymierny (czyli mniejszy od jeden) gdy jest do potegi nieskonczonej to dazy do zera wiec w licznku zero , w mianowniku nieskonczonosc to bedzie zero.

pshq: @Adamm: No tak, czyli tylko jak ujemne? Bo jak dodatnie to wiadomo, gdzie zdąża. W sumie to teraz już mi się wydaje logiczne, że granica jest 0. Dzięki, na razie więcej pytań nie mam (A ja też się w sumie pomyliłem, bo nie widziałem że pisał U i napisałem że to do Jacka)

pshq: @Jack − i w zasadzie to chyba jak w liczniku jest 0 to inaczej nie wyjdzie (chyba że 0 też w mianowniku, to wtedy +∞, tak?)

Jack: jesli 0 przez cokolwiek (procz zera) to rowna sie zero.

	0
jesli masz		to musisz zastosowac jakas metode bo nie wiesz jaka jest granica.
	0

pshq: No tak, racja. I mam jednak jeszcze ostatnie pytanie (oby ostatnie)…

	1
2.40.
	√4n2+7n−2n

Czy robię to dobrze, sądząc, że mianownik równa się nieskończoność, a 1/∞=0? Bo ma wyjść

	4
		…
	7

Adamm: zastosuj sprzężenie

Jack: nie wiesz czy mianownik jest rowny ∞, dlatego tu masz blad. gdyz "na logike" √4n² = 2n (bo n−>∞), wiec mamy 2n − 2n w mianowniku. Czylo nie wiemy co sie stanie.

pshq: Przepraszam, ale nie mam pojęcia co to takiego… Pierwsze słyszę, może będzie, ale w książce nic nie pisali jeszcze

Jack: zastosuj sie do porady Adamma

	√4n2+7n+2n
czyli pomnoz przez
	√4n2+7n+2n

Adamm:

	1
masz np.
	√2+1

ile to jest

pshq: Znaczy to jest to sprzężenie? Aha, usuwanie niewymierności z mianownika? (chyba) Dobra, próbuję

Adamm: tak

Jack: inaczej mowiac korzystasz ze wzoru a² − b² = (a−b)(a+b) (mam nadzieje ze go znasz) i u ciebie sprawa wyglada tak, ze chcesz znalezc a+b, a znasz a −b czyli

	a2−b2
a+b =
	a−b

gdzie u ciebie a−b = √4n²+7n − 2n

pshq: Tak, tak, znam Po prostu nigdy nie słyszałem nazwy "sprzężenie". To rzeczywiście było parę stron wcześniej, ale nie wpadłem żeby to tu użyć. To próbuje dalej @Adamm: √2−1

pshq: SUKCES! Dziękuję, chyba już umiem. Teraz idę do trudniejszych, ale chyba dam wam już spokój

pshq: Sukces niestety niepełny… Moglibyście wskazać drogę w jeszcze dwóch granicach?

	n sin(n!)
a)
	n2+1

	2−5n−10n2
b)
	3n+15

W zad. a) powinno wyjść 0. Czy zad. b) jest tak proste, jak mi się wydaje i czy wychodzi ∞

Mila:

	n
limn→∞[sin(n!)*		]=0 ponieważ
	n2+1

	n		n
limn→∞		=limn→∞		=
	n2+1		n*(n+1n)

	1
=limn→∞		=0 a ciąg sin(n!) jest ograniczony
	(n+1n)

pshq: Dziękuję, @Mila. Bardzo mi miło A co do drugiego, to wychodzi ∞ ?

Adamm: −∞

Mila:

	2−5n−10n2
limn→∞		=
	3n+15

	n*(2n−5−10n)
=limn→∞		=
	n*(3+15n)

	2n−5−10n
==limn→∞		=−∞
	(3+15n)

pshq: Ahaa! No faktycznie został minus, dziękuję również. No i przeoczyłem jeszcze jeden znak zapytania na swojej kartce… nie wiem też jak się zabrać za 2.75. √n¹⁰−2n²+2 Można prosić o jakieś sugestie?

Adamm: wyznacz n¹⁰ przed nawias

pshq:

	2		2
Dobrze, i co to dało? Mam n5 * pierwiastek z 1−		+		}
	n8		n10

pshq: Czyli też ∞ ? Bo n⁵*1?

Adamm: tak

pshq: To chyba już wszystko. Bardzo dziękuję za pomoc wszystkim. Życzcie mi, żebym nie miał już z tym problemów, a będziecie mieć ze mną spokój.

pshq: ALE ZARAZ! W odpowiedziach jest 1!

Adamm: to jest n−ty pierwiastek?

pshq: Nie.

Adamm: jakiś błąd w takim razie

pshq: Sprawdziłem w dwóch wydaniach: 1991 i 1999. Jest tak samo. Czyli jednak wpadka autorów?

Adamm: http://www.wolframalpha.com/input/?i=sqrt(n%5E10-2n%5E2%2B2)+as+n-%3E+inf tu masz dowód, oczywiście jeśli wierzysz programowi

pshq: No faktycznie, co mam nie wierzyć? Czyli już na pewno wszystko jasne. Dziękuję i miłego wieczoru

Mila: W mojej książce jest: ⁿ√n¹⁰−2n²+2 Wtedy granica 1.