Własności prawdopodobieństwa - dowód Sinus: Niech zdarzenia A,B,C,D ⊂ Ω. Wtedy A,B,C,D są takimi zdarzeniami, że A∩B∩C ⊂ D. Wykaż, że P(A) + P(B) + P(C) − P(D) ≤ 2 Może ktoś ma jakiś pomysł bo myślę i kombinuję i nie wiem jak to zrobić

Sinus: Odświeżam, bo zadanie zaraz przepadnie w czeluściach forum bez odpowiedzi ;c Ktoś coś ?

PW: Wtedy A,B,C,D są takimi zdarzeniami, że A∩B∩C ⊂ D − toż to jawny fałsz, dobrze przepisałeś treść zadaia?

Sinus: Dokładnie tak jest napisane w zadaniu. No z tą różnicą, że A,B,C,D ∊ Ω, a nie A,B,C,D ⊂ Ω Może tak ? P(A∩B∩C) ≤ P(D), więc jeśli P(A) + P(B) + P(C) − P(D) ≤ 2, to P(A) = max 1, P(B) = max 1, P(C) = max 1, a P(D) = max 1 dla P(A∩B∩C). Dla max prawdopodobieństw nierówność jest prawdziwa, więc dla mniejszych również będzie. Jest ok ? Bo mi się wydaje, że to jest zbyt proste w ten sposób :x

PW: Korzystasz z tezy, cytuję: ... jeśli P(A) + P(B) + P(C) − P(D) ≤ 2, to ..., w więc popełniasz błąd logiczny. Prawdopodobieństwo sumy trzech zbiorów (tzw. zasada włączeń i wyłączeń): P(A∪B∪C) = P(A) + P(B) + P(C) − P(A∩B) − P(A∩C) − P(B∩C) + P(A∩B∩C), stąd P(A) + P(B) + P(C) = P(A∪B∪C) + P(A∩B) + P(A∩C) + P(B∩C) − P(A∩B∩C), po odjęciu stronami P(D) mamy: P(A) + P(B) + P(C) − P(D) = P(A∪B∪C) + P(A∩B) + P(A∩C) + P(B∩C) − P(A∩B∩C) − P(D). Ostatnia zależność jest na pewno prawdziwa. Pomyśl, czy z tej zależności wynika teza (czy prawa strona jest mniejsza od 2).

Sinus: Hmm próbowałem rozpisać P(A∩B) na P(A) + P(B) − P(A∪B), tak samo z P(A∩C) i P(B∩C), ale robi się wtedy jeszcze większy bałagan. Mógłbym jeszcze przyjąć najbardziej skrajny przypadek, kiedy wszystkie prawdopodobieństwa zawierają się w sobie nawzajem, czyli P(A)=P(B)=P(C)=P(D)=P(Ω)=1. Wtedy P strona zależności to 1+1+1+1−1−1, co równa się 2, a dla każdego innego(mniej skrajnego) przypadku P strona byłaby mniejsza od 2, ale nie wiem, czy mogę w ten sposób do tego podejść.

Sinus: Hm no cóż, chyba dam sobie w takim razie spokój z tym zadaniem i przyjmę rozwiązanie jak napisałem wyżej :c Dzięki PW za pomoc Pozdrawiam