007: Wykaź, że dla każdej liczby naturalnej n∊N+ ułamek
| | n(n+1)(n+2) | |
|
| można skrócić przez liczbę większą od 5 |
| | 21+22+23+...+249+250 | |
12 paź 21:37
Jack: hmm, czy jak pokazemy ze mozna skrocic przez 6 to to wykazemy?
12 paź 21:44
007: Myślę, że raczej tak, tylko jak to zrobić ?
12 paź 21:50
zef: a gdyby wyznaczyć za pomocą ciągu geometrycznego sumę wszystkich wyrazów ? później przyrównać
licznik z tą sumą i będziemy mieli funkcję ax3+bx2+cx+d i znajdziemy min 1 pierwiastek który
jest większy od 5
12 paź 21:52
Jack: Wiemy, ze licznik jest podzielny przez 6 bo mamy iloczyn 3 kolejnych liczb naturalnych wiec
jest tam co najmniej jedna liczba parzysta (podzielna przez 2) i jedna podzielna przez 3.
zatem iloczyn parzystej i podzielnej przez 3 jest rowny 6.
A teraz
Zauwaz, ze mianownik jest podzielny przez 6, np. w ten sposob.
1(21 + 22) + 22(21 + 22) + 24(21 + 22) + 26(21+22) + ... + 248(21 + 22) =
= (21 + 22)(1 + 22 + 24 + 26 + ... + 248) =
= (2 + 4)(1 + 22 + 24 + 26 + ... + 248) = 6*(1 + 22 + 24 + 26 + ... + 248) =
= 6k
Niech k = (1 + 22 + 24 + 26 + ... + 248) ∊ Naturalnych.
12 paź 21:57
myszka:
licznik: n(n+1)(n+2)= 6k
mianownik : 2*(250−1) = 2*(225+1)(225−1) =
= 2*(2+1)(224−223+222−...... −1)(2−1)(224+223+....+1)= 2*3 k=6k
zatem licznik i mianownik można skrócić przez 6>5
12 paź 22:02
Panko: Już odpowiedziałeś :
2+22+23+ ...+250= 2( 250−1)=2*3*k
bo 3| 250−1 bo 250−1=(225−1)(225+1)=( 225−1)(225+1)
=( 225−1)((25)5+15)=( 225−1)((2+1)*k1
powyżej korzystamy ze wzoru : a5+b5=(a+b)*(....)
oraz 2| n(n+1)(n+2) bo wśród trzech kolejnych naturalnych co najmniej jedna jest
parzysta
oraz 3| n(n+1)(n+2) bo wśród trzech kolejnych naturalnych dokładnie jedna jest
podzielna przez 3
12 paź 22:13