Metryka
bnyh: Mam zadanie aby udowodnić iż funkcja d( (x1,x2),(y1,y2)) =|x1 −y1| + |x2 −y2| jest
metryką.
Sprawdzam trzeci warunek i mam cos takiego:
|x1 −y1| + |x2 −y2| + |y1 −z1| + |y2 −z2| ≥ |x1 − z1| + |x2 −z2|
Jak udowodnić, że jest to prawda?
12 paź 20:42
jc:
|a| + |b| ≥ |a+b|
Stąd
|x1−y1| + |y1−z1| ≥ |x1 −z1|
|x2−y2| + |y2−z2| ≥ |x2 −z2|
Dodajesz stronami i masz Swoją nierówność.
12 paź 20:48
bnyh: a √ (x1 −y1)2 + (x2 − y2)2 + √ (y1 −z1)2 + (y2 − z2)2 ≥√ (x1 −z1)2 + (x2 −
z2)2
12 paź 21:13
bnyh: ?
12 paź 21:13
jc:
d(x,y) = |x−y|, |x| = √x2, x=(x1,x2), y=(y2, y2)
Nierówność dla d(..) wynika z nierówności |x+y| ≤ |x|+|y|
|x+y| ≤ |x|+|y| ⇔ (x+y)2 ≤ x2 + y2 + 2|x||x| ⇔ x*y ≤ |x||y|
Ostatnia nierówność wynika z nierówności (x*y)2 ≤ x2 y2.
W przestrzeni 2 wymiarowej dowód ostatniej nierówności jest prosty.
(x12+x22)(y12+y22) = (x1y1+x2y2)2 + (x1y2−x2y1)2
≥ (x1y1+x2y2)2
12 paź 21:29