Zadanie z modułami i funkcją kwadratową HelpMe: Dla jakich wartości parametru m równanie (m+3)x² +mx+1 = 0 ma dwa różne pierwiastki x1 i x2 spełniające nierówność |x1| + |x2| ≤1 ? Będę bardzo wdzięczny za szczegółowe wytłumaczenie krok po kroku. Z góry dziękuję

Omikron: 1) a≠−3 2) Δ>0 3) |x₁|+|x₂|≤1 Trzeci warunek podnieś do kwadratu i zastosuj wzory Vieta.

HelpMe: (|x1|+|x2|)² ≤1 |x1|² + |x2|² + 2(|x1|*|x2|) x1² +x2² + 2|x1x2|≤1 (x1+x2)² − 2x1x2 + 2|x1x2| ≤1 (^−b_a )² − 2* ^c_a + 2|x1x2|≤1 ^b2_a² − ^2c_a + 2|x1x2| ≤1 ^{b2 −2ca}_a² + 2|x1x2| −1≤0 W taki sposób?

Omikron: Tak, ale ja bym podstawił od razu współczynniki. Jak już doprowadzisz do prostej postaci to rozwiązujesz nierówność z modułem (dwa przedziały).

HelpMe: ^m2_(m+3)² − ²_m+3 + 2|¹_m+3| ≤ 1 Jak to policzyć? Szczególnie pierwszy wyraz ^m2_(m+3)²

Jack:

	−m		2		2
(		)2 −		+ |		| ≤ 1
	m+3		m+3		m+3

rozpatrujesz 2 przedzialy. dla

	2
1)		≥ 0
	m+3

	2
2)		< 0
	m+3

Omikron: Na razie zostaw, rozwiąż w dwóch przedziałach (w jednym wyrażenie w module ujemne, w drugim dodatnie) i potem wymnóż stronami przez (m+3)², pozbędziesz się w ten sposób mianownika.

5-latek: proponuje tak pierwszse dwa wyrazy sprowadzic do wspolnego mianownika Wynik tego przeniesc oczywiscie ze zmienionym znakiem na lewo Potem obie strony podzielic przez 2

	1
Po prawej stronie dostaniesz wtedy		≤ co tam wyszlo
	|m+3|

5-latek: Oczywiscie nie na lewo tylko na prawo (słoma −siano)

HelpMe: Nie ma chętnego który by to rozwiązał?

Omikron: Przecież masz wytłumaczone, czego nie rozumiesz?

HelpMe: No to tak, sprowadzam sobie do wspólnego mianownika dwa pierwsze wyrazy i podstawiam dane. ^{b2 −2ca}_a² +|²_m+3|≤1 No to wydaje się dobrze... podstawiam dane ^{m2 − 2(m+3)}_(m+3)² + ²_m+3 ≤1 ( to w przedziale (−∞;0) W jaki sposób to sprawnie wyliczyć?

Omikron: Wymnóż przez mianownik

HelpMe: obustronnie przez (m+3)?

Omikron: Przez (m+3)²

HelpMe: z drugiego wyrażenia zostanie mi 2(m+3) ?

Omikron: Mamy nierówność

m2		2		2
	−		+|		|≤1
(m+3)2		m+3		m+3

1) Dla m<−3

m2		2		2
	−		−		≤1 / *(m+3)2
(m+3)2		m+3		m+3

m²−2(m+3)−2(m+3)≤(m+3)² m²−2m−6−2m−6≤m²+6m+9 10m≥−21

	21
m≥−
	10

Biorąc pod uwagę dziedzinę m∊∅ 2) Dla m≥−3 Drugi i trzeci ułamek się zerują. Zostaje

m2
	≤1 /*(m+3)2
(m+3)2

m²≤m²+6m+9 6m≥−9

	3
m≥−
	2

Całe rozwiązanie należy do dziedziny

	3
Więc ostatecznie z tego warunku m∊<−		,∞)
	2

Mila: (m+3)x² +mx+1 = 0 m≠−3 1) Δ>0⇔ m²−4m−12>0 ⇔m∊(−∞,−2)∪(6,∞) 2) |x₁|+|x₂|≤1

	b
x1+x2=−		⇔
	c

	−m
x1+x2=
	m+3

	c		1
x1*x2=		⇔x1*x2=
	a		m+3

X₁²+2*|x₁*x₂|+x₂²≤1⇔ (x₁+x₂)²−2x₁*x₂+2*|x₁*x₂|≤1

	−m		1		1
(		)2−2*		+2*|		|≤1⇔
	m+3		m+3		m+3

m2		2		2
	−		+|		|≤1
(m+3)2		m+3		m+3

1^o m<−3

m2		2		2
	−		−		≤1 /*(m+3)2⇔
(m+3)2		m+3		m+3

m2		4
	−		≤1 /*(m+3)2⇔
(m+3)2		m+3

m²−4(m+3)≤m²+6m+9 −4m−12−6m−9≤0 −10m≤21

	21
m≥−		rozwiązania nie należą do przedziału (−∞,−3)
	10

2^o m∊(−3,−2)∪(6,∞)

m2		2		2
	−		+		≤1
(m+3)2		m+3		m+3

m2
	≤1
(m+3)2

m²≤m²+6m+9 6m+9≥0

	3
m≥−		i m∊(−3,−2)∪(6,∞)⇔
	2

m∊(6,∞) Taką masz odpowiedź, bo nie wiem, czy nie mam błędu w rachunkach.

HelpMe: Mila dokładnie taka odpowiedź, dziękuję wszystkim za okazaną pomoc

Mila: