obliczyć granice ciągu
Kamil: √2n+3n+5n
pierwiastek jest stopnia n nie wiem jak to zapisać
11 paź 20:08
Janek191:
Tw. o trzech ciągach
n√ 2n + 3n + 5n
11 paź 20:10
Jerzy:
Tw o trzech ciągach:
n√5n ≤ an ≤ n√3*5n
5 ≤ an ≤ 5
lim = 5
11 paź 20:11
Leszek: Skorzystaj z twierdzenia o trzech ciagach
11 paź 20:11
Janek191:
lim an = 5
n→∞
11 paź 20:11
Ajtek:
"na oko" granica wynosi pięć
11 paź 20:11
Kamil: czemu 5 a nie 3 albo 2?
11 paź 20:12
Janek191:
Jerzy napisał
11 paź 20:13
Leszek: Pokazal to dobrze Jerzy
11 paź 20:14
azeta: np w ten sposób
| | 3 | | 2 | |
5n+3n+2n=5n(1+( |
| )n+( |
| )n) |
| | 5 | | 5 | |
lim
n→∞ n√5n(1+(3/5)n+(2/5)n)=5*
n√(1+(3/5)n+(2/5)n)
| | 3 | | 2 | |
i korzystając z tw o granicy ciągu geometrycznego ( |
| )n →0 oraz ( |
| )n)→0 |
| | 5 | | 5 | |
11 paź 20:15
piotr: (2n+3n+5n)1/n
limn−>∞(2n+3n+5n)1/n = 5
11 paź 20:18
Kamil: nic nie rozumiem jak wy to liczycie
///////////////
11 paź 20:32
Kamil: to jak n jest = 2
2
2 = 4
3
2 = 9
5
2 = 25
w sumie mamy 38
12 i gdzie tu wychodzi to 5
?
11 paź 20:38
Mila:
n√2n+3n+5n
ograniczasz z dołu i góry
5n<2n+3n+5n<5n+5n+5n z tego wynika, że :
n√5n<n√2n+3n+5n<n√3*5n stąd
5<n√2n+3n+5n<n√3*n√5n ⇒
5<n√2n+3n+5n<1*5
⇔
limn→∞(n√2n+3n+5n)=5
11 paź 20:38
Kamil: niestety nic mi to nie mówi "ograniczasz z dołu i góry" − nic mi to nie mówi
oraz rozpisanie tego ze znakami < też nie mam pojęcia skąd się bierze.
czego się mam uczyć żebym to zrozumiał?
11 paź 20:43
Adamm: twierdzenie o 3 ciągach, sprawdź sobie
11 paź 20:46
Kamil: moge sie tego nauczyć robić jak robot że sobie wezmę ostatni wyraz w tym przypadku 5
n
dam go z lewej postawie znak <= w srodku przepisze i z prawej dam 3x5
n
i mi zawsze wyjdzie to co z lewej
ale jaki to ma sens to już nie mam pojęcia
...
11 paź 21:01
jc: Kamil, zamień "ograniczasz z dołu i góry" na "piszesz dwie nierówności".
Tylko, że to pierwsze sformułowanie lepiej trafia do wyobraźni (przynajmniej mojej),
bo mówi, w jakim celu piszemy nierówności.
11 paź 21:02
jc: Mila, w przedostatniej linii powinno być
5 < n√2n + 3n + 5n < 5 n√3
11 paź 21:05
Mila:
Jeżeli wyrazy trzech ciągów {an},{bn},{cn} spełniają nierówność:
an≤bn≤cn i jeżeli ciągi {an} i {cn} mają wspólną granicę to znaczy:
limn→∞an=limn→∞cn=g to ciąg bn ma tę samą granicę równą g.
W twoim przykładzie:
5<n√2n+3n+5n<5*n√3 i wiemy, że n√3→1
zatem
limn→∞n√2n+3n+5n=5
11 paź 21:13
Mila:
Masz rację JC.
11 paź 21:14
jc: azeta, Twoje rozwiązanie w zasadzie też jest oparte na tw. o 3 ciągach.
Jeśli x ≥ 1, to n√x ≤ x.
Dlatego 1 ≤ n√1+(2/5)n + (3/5)2 ≤ 1 + (2/5)n + (3/5)2.
Granica lewej strony = granica prawej strony = 1.
No chyba, że potrafisz jakoś inaczej uzasadnić granicę środkowego ciągu
(ja potrafię, ale to co mam nie podoba mi się).
11 paź 21:15
suziedoyoucopy: a jak rozwiązac taki sam przykład tylko zwykły pierwiastek 2 stopnia z tych samych liczb?
proszę o pomoc
7 paź 22:41