obliczyć granice ciągu Kamil: u_n= ⁽⁻¹⁾ⁿ_2n−1 odpowiedź jest 0, ale dlaczego? gdzie mam błąd obliczeniowy? liczę tak dzieląc przez n licznik i mianownik w mianowniku mam 2−0 = 2 w liczniku mam −1n²/n czyli −n ? dlaczego by −n/2 dawało 0? gdzie mam błąd?

Kamil: chyba w liczniku nieskonczoność / n a to daje ile?

PW: (−1)ⁿ to tylko −1 albo 1, nic nie trzeba przekształcać.

Adamm:

−1		(−1)n		1
	≤		≤
2n−1		2n−1		2n−1

	−1
lim		= 0
	2n−1

	1
lim		= 0
	2n−1

	(−1)n
na mocy tw. o 3 ciągach lim		= 0
	2n−1

Kamil: wstyd nie wiedzieć że −1 do każdej potęgi da 1 albo −1 a co dalej idzie w liczniku zawsze będzie 0.... masakra, dzięki.

Adamm: w liczniku zawsze będzie zero

Kamil: aha no nie będzie, a możesz mi to obliczyć? może po tym zrozumiem

	2n+(−1)n
Un=
	n

tu ma niby wyjść 2

Adamm:

2n−1		2n+(−1)n		2n+1
	≤		≤
n		n		n

	2n−1		2n+1
lim		= lim		= 2
	n		n

na mocy tw. o trzech ciągach

	2n+(−1)n
lim		= 2
	n

Kamil: chyba złapałem, dziękuję

Kamil: a w tym wcześniejszym w liczniku będzie zawsze 0, bo skoro już mam postać lim ⁻¹_2n−1 i dzielę to przez współczynnik n to zawsze mam −1/n lub 1/n co prowadzi do 0 prawda?

Adamm:

	−1		1		−1		−1
zazwyczaj oblicza się to tak lim		=lim		*		=[0*		]=0
	2n−1		n		1   2−   n		2

Kamil: a gdyby w liczniku było −n? to by Ci wyszło też 0 tą metodą a nie powinno... ja znam jedna metode szukać najwyśzej potęgi n w mianowniku i dzielić przez nią wszystko

Adamm: nie wyszło by 0, gdybym tak zrobił to wyszło by 0*∞ co jest bezsensem, nie mówię że zawsze trzeba tak robić

Kamil: a jak obliczyć taki przypadek? U_n = ^{√1+2n2−√1+4n2}_n

Adamm: metoda jest taka, dzielisz przez n^k gdzie k jest stopniem licznika lub mianownika w zależności od tego który jest mniejszy, i wyrzucasz przed nawias

Adamm: sprzężenie

Adamm:

√1+2n2−√1+4n2		1+2n2−1+4n2
	=		=
n		n(√1+2n2+√1+4n2)

	6n2		6
=		=
	n(√1+2n2+√1+4n2)		(√1/n2+2+√1/n2+4)

Adamm: chociaż tutaj to raczej nie było konieczne

Adamm: po prostu wystarczyło wyjąć n z pierwiastków przed nawias

Kamil: odpowiedz powinna wyjść √2−2 może i taką masz ale trochę nie w tą stronę

Adamm: "chociaż tutaj to raczej nie było konieczne" "po prostu wystarczyło wyjąć n z pierwiastków przed nawias"

√1+2n2−√1+4n2
	=√1/n2+2−√1/n2+4
n

Kamil: nie rozumiem, ale to pewnie dlatego że nie wiem jak się wyciąga n z pierwiastków przed nawias a poza tym nie wiem co się stało z n w mianowniku

Adamm: skróciło się z n spod pierwiastków

Kamil: czy to jest poprawne? √1+2n² = n²√¹_n²+2

Kamil: Jak "wyjąć x przed nawias" √1+2x²

Qulka: √x²• (1/x² +2) =√x² • √ 1/x² +2 = x• √ 1/x² +2

Kamil: thx skoro tak to mam √1+2n² = √n²(1/n²+2) = n√1/n²+2 i skąd mi się potem bierze nagle √2 ? :(

Qulka: pewnie dlatego że 1/n² dąży do 0

Qulka: a √0+2 =√2

Kamil: ten "n" sprzed pierwiastka się skraca z mianownikiem a pod pierwiastkiem kasuję 1/n² i zostaje mi sam √2 ?

jc: Nie wyjmujemy, tylko dzielimy √1+2n² /n = √1+2n² / √n² = √1/n² +2

5-latek: Kamil czy jesli ktos tak jak Ty mial juz szseregi to powinien umiec liczyc granice ciagow(takie proste ) czy nie ?

Kamil: nie rozumiem Twojego pytania