Wykaż, że jesli zbiór A jest uporządkowany liniowo
Szczowio: Zadanie 1. Wykaż, że jeśli zbiór A jest uporządkowany liniowo (tzn. mamy
w nim relację ¬, która jest zwrotna, przechodnia, antysymetryczna i każde dwa
elementy są w relacji w prawo lub w lewo), i B ⊂ A oraz istnieje dolne (górne)
ograniczenie zbioru B zawarte w B, to to ograniczenie jest największe (najmniejsze),
czyli jest to inf B (sup B). (Czyli wtedy nie trzeba sprawdzać drugiego
warunku w definicji kresu).
Zadanie 2. (Uzupełnienie wykładu) Niech A będzie zbiorem uporządkowanym
liniowo, a B ⊂ A jego podzbiorem skończonym. Wykaż, że B posiada min B
i max B. (Czyli podany na wykładzie „aksjomat dodatkowy” jest zbędny.)
Wskazówka: Z poprzedniego zadania wystarczy wykazać, że B zawiera ograniczenie
dolne (górne). Gdyby żaden element B nie był ograniczeniem, to istniałby
dowolnie długi skończony ciąg ściśle malejący (rosnący) elementów B, w
szczególności istniałby taki ciąg o długości o 1 większej niż liczebność zbioru B.
Co z tego wynika?
Zadanie 3. (Uzupełnienie wykładu) Niech liczba wymierna dodatnia x speł−
nia x
2 > 2. Znajdź liczbę wymierną y, taką że x > y i y
2 > 2 (to było potrzebne
do dowodu, że zbiór liczb wymiernych, których kwadrat jest mniejszy
od 2, choć ograniczony z góry, to jednak w zbiorze liczb wymiernych nie posiada
kresu górnego).
Wskazówka: Niech x =
m
n
. Najpierw wykaż, że liczby postaci 2mk−1
nk2 można
uczynić dowolnie małymi dobierając odpowiednio duże k. Zatem dla pewnego
k można taką liczbę odjąć od x
2
i to nadal będzie większe od 2. Co dalej?
Z góry dziękuję za pomoc
