Indukcja DanielD: Przy którymkolwiek zadaniu pomoc mile widziana 1.Wykaż, że n prostych przecina się na płaszczyźnie w co najwyżej ⁿ⁽ⁿ⁻¹⁾₂ punktach. 2.Udowodnij, ,ze jeśli wyrazy ciągu spełniają warunki a₀ = 2, a₁ = 3 i a_n+1 = 3a_n − 2a_n−1 dla n≥1,to a_n=2ⁿ+1

PW: Nie jest to indukcyjny dowód, ale z łatwością można go przerobić na taki. (1) Bierzemy dowolne dwie proste. Jeżeli nie są równoległe, to mają dokładnie 1 punkt wspólny. (2) Bierzemy trzecią prostą. Jeżeli nie jest równoległa do żadnej prostej z poprzedniego punktu, to ma z nimi dokładnie 2 punkty wspólne ( o ile nie "trafi" w poprzedni punkt wspólny). (3) Bierzemy czwartą prostą. Jeżeli nie jest równoległa do żadnej z 3 prostych z poprzednich punktów, to ma z nimi dokładnie 3 punkty wspólne (o ile nie trafi w żaden z poprzednich punktów wspólnych). ...... (n) Bierzemy n−tą prostą. Jeżeli nie jest równoległa do żadnej z (n−1) prostych rozpatrywanych wcześniej, to ma z nimi (n−1) punktów wspólnych (o ile nie trafi w żaden z poprzednich punktów wspólnych). Razem punktów wspólnych może być co najwyżej

	1 + n − 1		n(n−1)
1 + 2 + 3 + ... + n−1 =		(n−1) =
	2		2

(wzór na sumę (n−1) początkowych liczb naturalnych). Uwaga. W rozumowaniu zakładamy, że określenie "n prostych" oznacza "n parami różnychprostych" − żadne dwie nie pokrywają się, gdyż wtedy byłoby nieskończenie wiele punktów wspólnych.

PW: 2. Podaną zależność przekształcić do postaci (1) a_n+1 − a_n = 2(a_n − a_n−1) i "na palcach": dla n = 1 jest a₂ − a₁ = 2(a₁ − a₀) = 2(3 − 2) = 2, a więc a₂ − 3 = 2 a₂ = 2 + 3 = 2² + 1 dla n = 2 jest a₃ − a₂ = 2(a₂ − a₁) = 2(2²+1 − 3), a więc a₃ = 2²+1 + 2³ − 4 = 2³ + 1. Dalej szkoda się tak bawić, to tylko dla pokazania skuteczności wzoru (1). Zastosować zasadę indukcji albo funkcję tworzącą.