Różnica symetryczna. pawl392: Udowodnić, że dla każdej liczby naturalnej [tex]n \ge 2[/tex] i dowolnych podzbiorów A ₁,...., A _n ustalonego zbioru X zbiór[ A ₁ A ₂ ... A _n[/tex] zawiera dokładnie te elementy z X, które należą do nieparzystej liczby zbiorów ]A _i. Wiedziałem, że po szkole średniej bez żadnych olimpiad i tak dalej będzie trudno. Ale nie wiedziałem że aż tak, dopiero początek października a ja mnóstwo czasu poświęcam na zrozumienie choćby jednego zagadnienia z wykładu. Masakra. Pomiędzy A1 A2 ma być znak różnicy symetrycznej

jc: Dowód indukcyjny. x ∊ A Δ B oznacza, że (x ∊ A i ¬ x ∊ B) lub (¬ x ∊ A i x ∊ B). Zatem dla dwóch zbiorów twierdzenie jest prawdziwe. Załóżmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla n zbiorów A₁, A₂, ..., A_n. Zobaczmy, jak jest dla n+1 zbiorów. Załóżmy, że x ∊ A₁ Δ A₂ Δ ... Δ A_n Δ A_n+1. Oznacza to, że x ∊ A₁ Δ A₂ Δ ... Δ A_n i ¬ x ∊ A_n+1 lub ¬ x ∊ A₁ Δ A₂ Δ ... Δ A_n i x ∊A_n+1 W pierwszym przypadku z założenia indukcyjnego x należy do nieparzystej liczby zbiorów A₁, ..., A_n, a ponieważ do A_n+1 nie należy, więc na końcu listy możemy dopisać A_n+1 nie zmieniając tezy. W drugim przypadku x należy do parzystej liczby zbiorów A₁, ..., A_n oraz do zbioru A_n+1, czyli w sumie do nieparzystej liczby zbiorów (liczba parzysta powiększona o jeden jest liczbą nieparzystą).

pawl392: Ale gdy rozważamy dwa zbiory : A₁ oraz A₂ no to jest to parzysta liczba zbiorów.

pawl392: I w drugim przypadku x chyba nie należy ddo parzystej liczby zbiorów. Tak przynajmniej napisałeś,

pawl392: I zastanawia mnie dlaczego najpierw to A₁...A_n jest parzystą liczbą zbiorów w w pierwszym przypadku nieparzystą. Czy po prostu tak zakładamy?

pawl392: A chyba rozumiem. Njapierw rozważamy że A₁...A_n jest parzyste i rozważamy przypadek a w drugim przypadki, że A₁1....A_n jest nieparzyste i rozważamy.

jc: Zwróć uwagę na negację (nie znalazłem symbolu "nie należy"). Jeśli x należy do A Δ B, to znaczy, że należy do A i nie należy do B lub odwrotnie. W każdym wypadku x należy do dokładnie jednego ze zbiorów: A,B. Jeden jest liczbą nieparzystą. Symbolem Δ oznaczyłem równicę symetryczną. Jeśli x należy do A Δ B Δ C to znaczy, że x należy do A Δ B i nie należy do C lub odwrotnie. W pierwszym przypadku x należy do dokładnie jednego ze zbiorów: A, B (do C nie należy). A więc należy do jednego zbioru. W drugim przypadku x nie należy do A Δ B, ale należy do C. x nie należy do A Δ B oznacza, że x nie należy ani do A, ani do B, lub należy równocześnie do A i B. Zatem x należy do C lub x należy do A,B, C. 1 i 3 są liczbami nieparzystymi. Teraz przeanalizuj krok indukcyjny.

pawl392: jc dziękuje. Dopiero wkraczam w taką matematykę.